Question

Sendo Z = 5X + 3Y - 4, onde X e Y são independentes, E(X) = 3, VAR(X) = 2, E(Y) = 4 e VAR(Y) = 3. Determine E(Z) e VAR(Z).

Answer 1

Propriedades da esperança:

$\bullet~c\in\mathbb{R}~\Rightarrow~E[c]=c\\\\\bullet~E[cX]=cE[X],~~c\in\mathbb{R}$

Sejam $X_{1},\,...,\,X_{n}$ variáveis aleatórias com esperança finita. Então

$E\bigg[\displaystyle\sum_{i=1}^{n}X_{i}\bigg]=\sum_{i=1}^{n}E[X_{i}]$

Propriedades da variância:

$\bullet~V[aX]=a^{2}[X]\\\\\bullet~V[X+c]=V[X],~onde~c\in\mathbb{R}\\\\\therefore~V[aX+b]=a^{2}V[X]$

Se $X_{1}\,,...,\,X_{n}$ são variáveis aleatórias são independentes, então

$Var\bigg[\displaystyle\sum_{i=1}^{n}X_{i}\bigg]=\sum_{i=1}^{n}\,Var[X_{i}]$
_______________________________

Encontrando a esperança de Z:

$Z=5X+3Y-4\\\\E[Z]=E[5X+3Y-4]\\\\E[Z]=E[5X]+E[3Y]-E[4]\\\\E[Z]=5E[X]+3E[Y]-4\\\\E[Z]=5\cdot3+3\cdot4-4\\\\\boxed{\boxed{E[Z]=23}}$

Encontrando a variância de Z:

Antes de tudo, se X e Y são variáveis aleatórias, então 5X + 3Y também é variável aleatória. Portanto,

$V[Z]=V[5X+3Y-4]=V[5X+3Y]$
 
Além disso, se X e Y são variáveis aleatórias independentes, então 5X e 3Y também são variáveis aleatórias independentes. Portanto, a variância da soma será a soma das variâncias:

$V[Z]=V[5X+3Y]\\\\V[Z]=V[5X]+V[3Y]\\\\V[Z]=5^{2}V[X]+3^{2}V[Y]\\\\V[Z]=25V[X]+9V[Y]\\\\V[Z]=25\cdot2+9\cdot3\\\\\boxed{\boxed{V[Z]=77}}$