Question

Quantos são os números pares de 5 algarismos que tem exatamente um algarismo 0 é um algarismo 3 em possisoes consecutivas?

Answer 1

Queremos encontrar a quantidade de números pares de cinco algarismos que contenham a subcadeia "03" (ou "30") em qualquer posição.


Fixando a subcadeia "03" e pensando nisso como se fosse um único dígito, sobram mais três posições a serem preenchidas.

Como o enunciado não diz nada a respeito, assume-se que é permitida a repetição de algarismos, exceto os algarismos 0 e 3.


Então para as outras três posições podemos escolher os algarismos deste conjunto:

{1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

(oito possibilidades)

____________


Temos 4 formas possíveis de posicionar a subcadeia "03" no número:

[   0      3   ]  ___  ___  ___        (não serve, pois não pode começar com zero)

___  [   0      3   ]  ___  ___        ✓

___  ___  [   0      3   ]  ___        ✓

___  ___  ___  [   0      3   ]        (não serve, pois sempre é ímpar)


•   Calculando a quantidade de números total de números pares que contém a subcadeia "03":

Só podem ser considerados aqueles que não apresentam a subcadeia "03" ao início nem ao final do número, sobrando apenas duas configurações possíveis.

Logo, usando o princípio multiplicativo para cada uma das duas configurações possíveis, temos

8 · 8 · 4 + 8 · 8 · 4

= 2 · 8 · 8 · 4

= 2 · 8² · 4

= 512 números

__________


Mas podemos ainda permutar os elementos fixos da subcadeia:

[   3      0   ]  ___  ___  ___        ✓

___  [   3      0   ]  ___  ___        ✓

___  ___  [   3      0   ]  ___        ✓

___  ___  ___  [   3      0   ]        (este já é par, independente dos outros dígitos)  ✓


•   Calculando a quantidade total de números pares que contém a subcadeia "30":

Usando o princípio multiplicativo para cada uma das quatro configurações, temos

8 · 8 · 4 + 8 · 8 · 4 + 8 · 8 · 4 + 8 · 8 · 8

= 3 · 8² · 4 + 8³

= 768 + 512

= 1280 números

__________


Por fim, o resultado procurado é a soma dos dois resultados encontrados:

512 + 1280

= 1792 números   <———    esta é a resposta


Bons estudos! :-)