Question

uma função quadrática f de R em R tem raízes nos pontos (-1,0) e (1,0) e assume o valor mínimo -1 se x =0 , essa funcao é dada por

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Danylu, que a resolução continua simples.

Tem-se que uma função quadrática "f" dos Reais nos Reais, tem raízes nos seguintes pontos: A(-1; 0) e B(1; 0) e assume um valor mínimo igual a "-1", quando "x" for igual a "0".

Note que se a função é quadrática, então ela é da forma: f(x) = ax² + bx + c.

Agora vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Se as raízes da função estão nos pontos A(-1; 0) e B(1; 0) , então é porque as raízes da função dada são: x' = -1 e x'' = 1.
Agora veja isto: uma função do 2º grau, da forma ax² + bx + c, com raízes iguais a x' e x'' , poderá ser simplificada em função de suas raízes da seguinte forma:

ax² + bx + c = a*(x-x')*(x-x'').

Então se já sabemos que as raízes são x' = -' e x'' = 1 , então a nossa expressão poderá ser simplificada, em função de suas raízes, da seguinte forma:

ax² + bx + c = a*(x-(-1))*(x-1)
ax² + bx + c = a*(x+1)*(x-1)
ax² + bx + c = a*(x² - 1) ---- ou seja, a função f(x) simplificada em função de suas raízes terá esta forma:

f(x) = a*(x² - 1) ---  note que já temos praticamente a função da sua questão. Falta-nos apenas o valor do termo "a".

ii) Tem-se que a função assumirá o seu valor mínimo igual a "-1", quando "x" for igual a zero. Então vamos substituir "x' por zero e veremos qual será o valor do termo "a".
Já vimos no item anterior que a função simplificada é esta:

f(x) = a*(x² - 1) ------ se a função atingirá o seu mínimo igual a "-1", quando "x" for igual a zero, então vamos substituir o "x" por zero na expressão acima e substituiremos f(x) por "-1" (que é o valor mínimo assumido pela função quando "x" for igual a zero). Assim:

- 1 = a*(0² - 1)
- 1 = a*(0 - 1) --- ou apenas:
-1 = a*(-1) --- ou, o que é a mesma coisa:
-1 = -a ---- vamos apenas inverter, ficando:
-a = -1 ---- multiplicando-se ambos os membros por "-1", ficaremos com:
a = 1 <--- Este será o valor do termo "a".

Então a função f(x) = a*(x² - 1) será, após substituirmos "a' por "1":

f(x) = 1*(x² - 1)

f(x) = x² - 1 <--- Esta é a resposta. Esta é a função procurada.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.