Question

Como encontrar quantas e quais são as raízes da equação abaixo?

$x^{2} = 2^{x}$

Answer 1

Resposta:

$</p><p>\boxed{\boxed{\mathtt{S = \left \{ 2, 4 \right \}}}}$

Explicação passo-a-passo:

$\\ \displaystyle \mathsf{x^2 = 2^x} \\\\ \mathsf{x = \sqrt[2]{2^x}} \\\\ \boxed{\mathsf{x = 2^{\frac{x}{2}}}}$

Para que a igualdade seja satisfeita, devemos analisar duas possibilidades:

- x é igual a 2 (mesma base);

- x é diferente de 2 (mas, uma potência de dois).

CASO I: $\displaystyle \mathtt{x = 2}$

$\\ \displaystyle \mathsf{x = 2^{\frac{x}{2}}} \\\\ \mathsf{2 = 2^{\frac{2}{2}}} \\\\ \mathsf{2 = 2^1} \\\\ \mathsf{2 = 2}$

Feito isto, tiramos que, de fato, DOIS é uma solução!

CASO II: $\displaystyle \mathtt{x \neq 2}$

Note que, o resultado de $\displaystyle \mathtt{2^{\frac{x}{2}}}$ é uma potência de dois, por essa razão analisamos este caso como sendo uma potência de dois. Outro resultado não faria sentido!

Isto posto, tome $\displaystyle \mathtt{x = 2^{\lambda}, \ \forall \lambda \in \mathbb{Z}_+}$. Daí,

$\\ \displaystyle \mathsf{x = 2^{\frac{x}{2}}} \\\\ \mathsf{2^{\lambda} = 2^{\frac{x}{2}}} \\\\ \mathsf{\lambda = \frac{x}{2}} \\\\ \boxed{\mathsf{x = 2 \cdot \lambda}}$

Por fim, basta atribuir valores a lambda e verificar se a igualdade é satisfeita!

$\displaystyle \bullet \qquad \mathsf{\lambda = 0 \Rightarrow x = 0}$

$\\ \displaystyle \mathsf{0^2 = 2^0 \Leftrightarrow 0 = 1}$

$\displaystyle \bullet \qquad \mathsf{\lambda = 1 \Rightarrow x = 2}$

Já constatamos ser verdadeira no CASO I.

$\displaystyle \bullet \qquad \mathsf{\lambda = 2 \Rightarrow x = 4}$

$\\ \displaystyle \mathsf{4^2 = 2^4 \Leftrightarrow 16 = 16}$

VERDADEIRA

$\displaystyle \bullet \qquad \mathsf{\lambda = 3 \Rightarrow x = 6}$

$\\ \displaystyle \mathsf{6^2 = 2^6 \Leftrightarrow 36 = 64}$

FALSA

$\displaystyle \bullet \qquad \mathsf{\lambda = 4 \Rightarrow x = 8}$

$\\ \displaystyle \mathsf{8^2 = 2^8 \Leftrightarrow 64 = 256}$

FALSA

(...)

Como podemos observar, a partir de $\displaystyle \mathtt{x = 4}$, temos $\displaystyle \mathtt{x^2 < 2^x}$. Tal afirmativa podes ser constatada através do PRINCÍPIO DA INDUÇÃO FINITA (PIF)!

Portanto, podemos concluir que a equação $\displaystyle \mathtt{x^2 = 2^x}$ tem DUAS raízes. São elas: DOIS e QUATRO!!!