Question

7) Simplifique as equações (n-1)! . (n+3)!
------ -------
n! (n-4)!
8) Determine a inversa da matriz A= ( 1 3 2 4) o 1 vai acima do 3 e o 2 acima do 4.

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Valentina, a "foto" foi primordial pra entendermos como estariam escritas as suas duas questões.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Na questão "7" pede-se para simplificar a seguinte expressão sobre fatoriais, que vamos chamá-la de um certo "y" , apenas para deixá-la igualada a alguma coisa:

y = [(n-1)!/n!] * [(n-3)!/(n-4)!]

Veja, no primeiro fator vamos desenvolver, no denominador, n! até (n-1)!. E, no segundo fator, vamos desenvolver, no numerador, (n-3)! até (n-4)! . Com isso, ficaremos assim:

y = [(n-1)!/n*(n-1)!] * [(n-3)*(n-4)!/(n-4)!]

Dividindo-se, no 1º fator, (n-1)! do numerador com (n-1)! do denominador; e, no 2º fator, dividindo-se (n-4)! do numerador com (n-4)! do denominador, iremos ficar apenas com:

y = [1/n] * [(n-3)] ----- efetuando-se este produto, teremos:
y = 1*(n-3)/n
 
y = (n-3)/n <--- Esta é a forma simplificada pedida.

Note: se você quiser, ainda poderá dividir cada fator por "n", com o que ficaremos assim:

y = n/n - 3/n ----- como n/n = 1, teremos:
 
y = 1 - 3/n <--- A forma simplificada também poderia ser apresentada desta forma.

Assim, você poderá apresentar, para a questão "7", uma das formas acima como a forma final simplificada da expressão original.


ii) A questão "8" pede a matriz inversa da matriz abaixo:

A = |1.....2|
. . . |3.....4|

Veja: vamos chamar a matriz inversa de:

A⁻¹ = |a....b|
. . . .. |c....d|

Agora multiplicaremos a matriz A pela sua inversa A⁻¹ e igualaremos esse produto à matriz identidade de 2ª ordem. Assim, faremos isto:

|1....2|*|a....b| = |1....0|
|3....4|*|c....d| = |0....1| ----- efetuando o produto entre as matrizes, teremos:

1*a+2*c = 1 ----> a + 2c = 1    . (I)
 
1*b+2*d = 0 ----> b + 2d = 0    . (II)

3*a+4*c = 0 ---> 3a + 4c = 0    . (III)

3*b+4*d = 1 ---> 3b + 4d = 1    . (IV)

Assim, como você viu, ficamos com um sistema de quatro equações com quatro incógnitas. Vamos resolvê-las:

Pela expressão (I), temos:

a + 2c = 1
a = 1 - 2c      . (V)

Agora faremos o seguinte: vamos na expressão (III) e, nela, substituiremos o valor de "a" por "1-2c", conforme vimos na expressão (V).
Vamos apenas repetir a expressão (III), que é esta:

3a+ 4c = 0 ---- substituindo-se "a" por "1-2c", ficaremos assim:
3*(1-2c) + 4c = 0 --- efetuando o produto indicado, teremos:
3 - 6c + 4c = 0 ---- reduzindo os termos semelhantes, teremos:
3 - 2c = 0 ---- passando "3" para o 2º membro, teremos:
- 2c = - 3 ---- multiplicando ambos os membros por "-1", teremos:
2c = 3
c = 3/2 <--- Este é o valor da incógnita "c".

Agora vamos na expressão (V) e vamos substituir "c" por "3/2".
A expressão (V) é esta:

a = 1 - 2c ----- substituindo-se "c" por "3/2", teremos;
a = 1 - 2*(3/2)
a = 1 - 2*3/2
a = 1 - 6/2
a = 1 - 3
a = - 2 <--- Este é o valor da incógnita "a".

Agora vamos na expressão (II), que é esta:

b + 2d = 0
b = - 2d      . (VI)

Agora vamos na expressão (IV), que é esta: 

 3b + 4d = 1 ---- substituindo-se "b" por "-2d", conforme vimos na expressão (VI), teremos:

3*(-2d) + 4d = 1
- 6d + 4d = 1
- 2d = 1 ---- multiplicando-se ambos os membros por "-1", teremos:
2d = - 1
d = - 1/2 <--- Este é o valor da incógnita "d".

Finalmente, agora vamos na expressão (VI), que é esta:

b = - 2d ----- substituindo-se "d" por "-1/2", teremos:
b = -2*(-1/2)
b = 2/2
b =  1 <---- Este é o valor da incógnita "b".

Assim, como já temos os valores de todas as 4 incógnitas, que são:

a = - 2; b = 1; c = 3/2; d = - 1/2 , vamos ver qual é a matriz inversa pedida. Assim:

A⁻¹ = |-2..........1|
. . . .. |3/2...-1/2| <---- Pronto. Esta é a inversa pedida da questão "8".

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.