Question

Insira cinco meios geométricos entre 4 e 260.

Answer 1

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Interpolar 5 meios geométricos entre 4 e 260 é equivalente a obtermos uma progressão geométrica

$\mathsf{(4,\,a_2,\,a_3,\,a_4,\,a_5,\,a_6,\,260)}$


com 7 termos, onde

•  o primeiro termo é $\mathsf{a_1=4;}$

•  o último termo é $\mathsf{a_7=260.}$


Pela fórmula do termo geral da P.G.:

$\mathsf{a_n=a_1\cdot q^{n-1}}\qquad\quad\textsf{com }\mathsf{n=1,\,2,\,\ldots,\,7}\\\\ \mathsf{q^{n-1}=\dfrac{a_n}{a_1}}\\\\\\ \mathsf{q=\,^{n-1}\!\!\!\!\sqrt{{\dfrac{a_n}{a_1}}}}$


Se n for ímpar, poderíamos considerar também

$\mathsf{q=\pm \,^{n-1}\!\!\!\!\sqrt{{\dfrac{a_n}{a_1}}}}$


o que nos forneceria uma P.G. alternante para o sinal negativo de $\mathsf{q}.$


Para $\mathsf{n=7},$ temos

$\mathsf{q=\,^{7-1}\!\!\!\!\sqrt{{\dfrac{a_7}{a_1}}}}\\\\\\ \mathsf{q=\,^6\!\!\!\!\sqrt{{\dfrac{260}{4}}}}\\\\\\ \mathsf{q=\,^6\!\!\!\sqrt{65}}\quad\longleftarrow\quad\textsf{raz\~{a}o da P.G.}$


Encontrando os meios geométricos:

•   $\mathsf{a_2=a_1\cdot q}$

$\mathsf{a_2=4\,^6\!\!\!\sqrt{65}}\qquad\quad\checkmark$


•   $\mathsf{a_3=a_1\cdot q^2}$

$\mathsf{a_3=4\cdot (\,^6\!\!\!\sqrt{65})^2}\\\\ \mathsf{a_3=4\cdot \,^6\!\!\!\sqrt{65^2}}\\\\ \mathsf{a_3=4\,^3\!\!\!\sqrt{65}}\qquad\quad\checkmark$


•   $\mathsf{a_4=a_1\cdot q^3}$

$\mathsf{a_4=4\cdot (\,^6\!\!\!\sqrt{65})^3}\\\\ \mathsf{a_4=4\cdot \,^6\!\!\!\sqrt{65^3}}\\\\ \mathsf{a_4=4\sqrt{65}}\qquad\quad\checkmark$


•   $\mathsf{a_5=a_1\cdot q^4}$

$\mathsf{a_5=4\cdot (\,^6\!\!\!\sqrt{65})^4}\\\\ \mathsf{a_5=4\cdot \,^6\!\!\!\sqrt{65^4}}\\\\ \mathsf{a_5=4\,^3\!\!\!\sqrt{65^2}}\\\\ \mathsf{a_5=4\,^3\!\!\!\sqrt{4\,225}}\qquad\quad\checkmark$


•   $\mathsf{a_6=a_1\cdot q^5}$

$\mathsf{a_6=4\cdot (\,^6\!\!\!\sqrt{65})^5}\\\\ \mathsf{a_6=4\cdot \,^6\!\!\!\sqrt{65^5}}\\\\ \mathsf{a_6=4\,^6\!\!\!\sqrt{1\,160\,290\,625}}\qquad\quad\checkmark$


A P.G. com os termos interpolados é

$\mathsf{(4,\,4\,^6\!\!\!\sqrt{65},\,4\,^3\!\!\!\sqrt{65},\,4\sqrt{65},\,4\,^3\!\!\!\sqrt{4\,225},\,4\,^6\!\!\!\sqrt{1\,160\,290\,625},\,260)}\qquad\checkmark$


Bons estudos! :-)