Question

Estou em duvida como resolver essa equação exponencial especifica:
3^(4x-1) + 9^(x) = 6

Answer 1

 Vamos lá. 

Pede-se o valor de "x" na expressão abaixo: 

3^(4x-1) + 9^(x) = 6 ----veja que 9 = 3². Assim: 
3^(4x-1) + (3²)^(x) = 6 
3^(4x-1) + 3^(2*x) = 6 
3^(4x-1) + 3^(2x) = 6 

Veja que: 3^(4x-1) = 3^(4x)/3. Assim: 

3^(4x)/3 + 3^(2x) = 6 -----mmc = 3. Assim: 
3^(4x) + 3*3^(2x) = 3*6 
3^(4x) + 3*3^(2x) = 18 ---- passando 18 para o 1º membro, ficamos com: 
3^(4x) + 3*3^(2x) - 18 = 0 ----vamos fazer 3^(2x) = k. Com isso, vamos ficar com: 
k² + 3k - 18 = 0 ----- aplicando Bháskara, você vai encontrar as seguintes raízes: 

k' = -6 
k'' = 3 

Mas veja que fizemos 3^(2x) = k. Então: 

Para k = -6, temos: 

3^(2x) = - 6 ---Impossível. Não existe nenhum número positivo que, elevado a qualquer expoente, resulte num número negativo. Logo NÃO tomaremos a raiz para k = -6. 

Para k = 3, temos: 

3^(2x) = 3¹ ------ como as bases são iguais, então igualamos os expoentes. Assim: 

2x = 1 
x = 1/2 <----Pronto. Essa é a resposta, ou melhor, a ÚNICA resposta para o valor de "x". 

É isso aí. 

Answer 2

$3^ {4x-1} + 9^ {x} = 6 \\ \\ 3^ {4x-1} + (3^2)^ {x} = 6 \\ \\ 3^ {4x-1} + (3)^ {2x} = 6 \\ \\ 3^ {4x}: 3 + (3)^ {2x} = 6 \\ \\ \frac{1}{3} (3^x)^4 + (3^x)^2 = 6 \\ \\ \frac{1}{3} (3^x)^4 + (3^x)^2 -6\qquad 3^x = z \\ \\ \frac{1}{3} (z)^4 + (z)^2 -6\qquad z^2= p \\ \\ \frac{1}{3} (p)^2 + p -6$

$Aplicar \ Bhaskara \\ \\ \frac{1}{3} (p)^2 + p -6 \qquad a= \frac{1}{3} \quad b= 1\quad c= -6 \\ \\ \\ \dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \dfrac{-1\pm \sqrt{1^2-4(\frac{1}{3})(-6)}}{2(\frac{1}{3})} = \\ \\ \\ \dfrac{-1\pm \sqrt{1+8}}{\frac{2}{3}} = \dfrac{-1\pm \sqrt{9}}{\frac{2}{3}} = \dfrac{-1\pm3}{\frac{2}{3}} \\ \\ \\ p_1= \dfrac{-1+3}{\frac{2}{3}} \to p_1= \dfrac{2}{\frac{2}{3}} \to p_1= 3\\ \\ \\ p_2= \dfrac{-1-3}{\frac{2}{3}} \to p_2= \dfrac{-4}{\frac{2}{3}} \to p_2= -6$


$z^2= p\to z^2= 3\to z= \pm \sqrt{3}\to z_1= -\sqrt{3} \ y\ z_2= +\sqrt{3} \\ \\ z^2= p\to z^2= -6\to z= \pm \sqrt{-6}\to z_3= -\sqrt{-6} \ y\ z_2= +\sqrt{-6} \\ \\ \\ 3^x= \sqrt{3} \to 3^x= 3 ^{ \frac{1}{2}} \to \boxed{ \boxed{x= \frac{1}{2} }}$


Até outra vez!!!!