Question

Obtenha o vértice de cada parábola e indique se é ponto de máximo ou de mínimo:
A) f(x) = x2 - 5x +6
B) f(x) = 1 -4x2
Alguém sabe ?????? Preciso pra hj, agradeço muito quem puder me ajudar

Answer 1

O vértice de uma parábola $y=f(x)$ é o ponto onde a derivada de $f$ se anula
_____________________

a)

Derivando $f$:

$f'(x)=\frac{d}{dx}x^{2}-\frac{d}{dx}5x+\frac{d}{dx}6\\\\f'(x)=2x-5$

Encontrando $x$ tal que $f'(x)=0$:

$f'(x)=0~~\Leftrightarrow~~2x-5=0~~\Leftrightarrow~~2x=5~~\Leftrightarrow~~x=\dfrac{5}{2}$

Encontrando a coordenada $y$ desse ponto:

$y=f(\frac{5}{2})\\\\y=\bigg(\dfrac{5}{2}\bigg)^{2}-5\bigg(\dfrac{5}{2}\bigg)+6\\\\\\y=\dfrac{25}{4}-\dfrac{25}{2}+\dfrac{24}{4}\\\\\\y=\dfrac{25-50+24}{4}\\\\\\y=-\dfrac{1}{4}$

Portanto, o vértice da parábola é o ponto $\boxed{\boxed{(x,y)=\bigg(\frac{5}{2},-\frac{1}{4}\bigg)}}$

O ponto é de mínimo pois $f''(x)=\frac{d}{dx}f'(x)=\frac{d}{dx}(2x-5)=2~\textgreater~0~~~\forall x$

b)

Derivando $f$:

$f'(x)=\frac{d}{dx}(1-4x^{2})\\\\f'(x)=\frac{d}{dx}1-4\frac{d}{dx}x^{2}\\\\f'(x)=0-4\cdot2x\\\\f'(x)=-8x$

Encontrando $x$ que anula a derivada:

$f'(x)=0~~\Leftrightarrow~~-8x=0~~\Leftrightarrow~~x=0$

Encontrando $y=f(0)$:

$y=f(0)\\\\y=1-4\cdot0^{2}\\\\y=1-0\\\\y=1$

O vértice de parábola é dado por $\boxed{\boxed{(x,y)=(0,1)}}$

esse ponto é de mínimo, pois $f''(x)=\frac{d}{dx}(-8x)=-8~\textless~0~~~\forall x$

Answer 2

a) f(x) = x² - 5x + 6     b)  f(x) = 1 - 4x²

Na função do item a, temos: a = 1, b = -5 e c = 6
Na função do item b, temos: a = - 4, b = 0 e c = 1

O ponto mínimo ou máximo, depende do sinal de a; se a > 0 o ponto é mínimo (concavidade para cima); se a < 0 o ponto é máximo (concavidade para baixo). 
Desse modo, a primeira função tem ponto mínimo (a = 1) e a segunda função tem ponto máximo (a = - 4).

Para determinarmos o ponto do vértice (mínimo ou máximo) usamos a fórmula:  xv = -b/2a  e  yv = -Δ/4a

f(x) = x² - 5x + 6  →  xv = - (-5)/2.1  →  xv = 5/2
                                 yv = - Δ/4a  →  yv = - 1/4.1  →  yv = - 1/4  →  P(5/2;-1/4)

f(x) = 1 - 4x²  →  xv = - 0/2.(-4)  →  xv = 0/- 8  →  xv = 0
   
                           yv = - 16/4.(- 4) →  yv = - 16/- 16  →  yv = 1  →  P(0;1)

Lembre-se da fórmula do delta:  Δ = b² - 4.a.c