Question

Unesp: Quais são os valores de a, tais que a reta y=ax + B, passando por (2,2), não intercepta a circunferência x^2+ y^2= 1?

Answer 1

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É dada a equação de uma reta

$\mathsf{r:~y=ax+b}$


e sabemos que o ponto $\mathsf{P(2,\,2)}$ pertence a esta reta. Logo, as coordenadas deste ponto devem satisfazer à equação de $\mathsf{r}.$


Observe também que conhecemos um ponto $\mathsf{P}$ da reta e o seu coeficiente angular $\mathsf{a}$ é desconhecido. Sendo assim, podemos expressar a equação de $\mathsf{r}$ na forma ponto-inclinação:

$\mathsf{r:~y-y_P=a\cdot (x-x_P)}\\\\ \mathsf{r:~y-2=a\cdot (x-2)}\\\\ \mathsf{r:~y-2=ax-2a}\\\\ \mathsf{r:~y=ax-2a+2\qquad\quad(ii)}$


De acordo com o que é pedido no enunciado, devemos encontrar os valores para $\mathsf{a},$ de modo que o sistema formado pelas equações da reta e da circunferência não possua soluções para $\mathsf{x}$ e $\mathsf{y}:$

$\left\{\! \begin{array}{lc} \mathsf{y=ax-2a+2}&\quad\mathsf{(i)}\\ \mathsf{x^2+y^2=1}&\quad\mathsf{(ii)} \end{array} \right.$


Substituindo o $\mathsf{y}$ da equação $\mathsf{(i)}$ na equação $\mathsf{(ii),}$ obtemos

$\mathsf{x^2+(ax-2a+2)^2=1}\\\\ \mathsf{x^2+(ax-2a+2)\cdot (ax-2a+2)=1}$


Aplicando a distributiva para eliminar os parênteses, obtemos

$\mathsf{x^2+a^2x^2-2a^2x+2ax-2a^2x+4a^2-4a+2ax-4a+4=1}\\\\ \mathsf{x^2+a^2x^2-2a^2x-2a^2x+2ax+2ax+4a^2-4a-4a+4=1}\\\\ \mathsf{x^2+a^2x^2-4a^2x+4ax+4a^2-8a+4=1}\\\\ \mathsf{(1+a^2)x^2+(-4a^2+4a)x+4a^2-8a+4-1=0}\\\\ \mathsf{(1+a^2)x^2+(-4a^2+4a)x+4a^2-8a+3=0\qquad\quad(iii)}$


Temos acima uma equação quadrática na variáve $\mathsf{x}.$ Como queremos que ela não tenha solução, devemos condicionar o discriminante $\mathsf{\Delta}$ desta equação como sendo negativo:

$\rightarrow\quad\left\{\! \begin{array}{l} \mathsf{A=1+a^2}\\\mathsf{B=-4a^2+4a}\\\mathsf{C=4a^2-8a+3} \end{array} \right.\\\\\\\\ \mathsf{\Delta<0}\\\\ \mathsf{B^2-4AC<0}\\\\ \mathsf{(-4a^2+4a)^2-4\cdot (1+a^2)\cdot (4a^2-8a+3)<0}$

$\mathsf{\big[\!\!-4a\cdot (a-1)\big]^2-4\cdot (1+a^2)\cdot (4a^2-8a+3)<0}\\\\ \mathsf{16a^2(a-1)^2-4\cdot (4a^2-8a+3+4a^4-8a^3+3a^2)<0}\\\\ \mathsf{16a^2(a-1)^2-4\cdot (4a^4-8a^3+4a^2+3a^2-8a+3)<0}\\\\ \mathsf{16a^2(a-1)^2-4\cdot (4a^4-8a^3+7a^2-8a+3)<0}\\\\ \mathsf{16a^2(a^2-2a+1)-4\cdot (4a^4-8a^3+7a^2-8a+3)<0}$

$\mathsf{16a^2(a^2-2a+1)-4\cdot (4a^4-8a^3+7a^2-8a+3)<0}\\\\ \mathsf{16a^4-32a^3+16a^2-16a^4+32a^3-28a^2+32a-12<0}\\\\ \mathsf{\diagup\!\!\!\!\! 16a^4-\diagup\!\!\!\!\! 16a^4-\,\diagdown\!\!\!\!\!\! 32a^3+\,\diagdown\!\!\!\!\!\!\!32a^3-12a^2+32a-12<0}\\\\ \mathsf{-12a^2+32a-12<0}\\\\ \mathsf{-4\cdot (3a^2-8a+3)<0}$

$\mathsf{3a^2-8a+3>0\quad\longleftarrow\quad\textsf{(inequa\c{c}\~ao do }\mathsf{2^o}\textsf{ grau)}\quad(iv)}$


Encontrando as raízes do lado esquerdo da inequação acima:

$\mathsf{3a^2-8a+3=0}\quad\rightarrow\quad\left\{\! \begin{array}{l} \mathsf{A=3}\\\mathsf{B=-8}\\\mathsf{C=3} \end{array} \right.\\\\\\ \mathsf{\Delta=B^2-4AC}\\\\ \mathsf{\Delta=(-8)^2-4\cdot 3\cdot 3}\\\\ \mathsf{\Delta=64-36}\\\\ \mathsf{\Delta=28}\\\\ \mathsf{\Delta=2^2\cdot 7}$


$\mathsf{a=\dfrac{-B\pm \sqrt{\Delta}}{2A}}\\\\\\ \mathsf{a=\dfrac{-(-8)\pm \sqrt{2^2\cdot 7}}{2\cdot 3}}\\\\\\ \mathsf{a=\dfrac{8\pm 2\sqrt{7}}{2\cdot 3}}\\\\\\ \mathsf{a=\dfrac{\diagup\!\!\!\! 2\cdot (4\pm \sqrt{7})}{\diagup\!\!\!\! 2\cdot 3}}$

$\mathsf{a=\dfrac{4\pm \sqrt{7}}{3}}\\\\\\ \begin{array}{rcl} \mathsf{a=\dfrac{4-\sqrt{7}}{3}}&~\textsf{ ou }~&\mathsf{a=\dfrac{4+\sqrt{7}}{3}} \end{array}$


As raízes do lado esquerdo da inequação $\mathsf{(iv)}$ são

$\begin{array}{rcl} \mathsf{a_1=\dfrac{4-\sqrt{7}}{3}}&~\textsf{ e }~&\mathsf{a_2=\dfrac{4+\sqrt{7}}{3}} \end{array}$


Fazendo o quadro de sinais para o lado esquerdo de $\mathsf{(iv)}:$

$\begin{array}{cc} \mathsf{3a^2-8a+3}\quad&\quad\underline{~~+++}\underset{\mathsf{a_1}}{\bullet}\underline{----}\underset{\mathsf{a_2}}{\bullet}\underline{+++~~}_{\blacktriangleright}\qquad{\mathbb{R}} \end{array}$


Como queremos que o lado esquerdo de $\mathsf{(iv)}$ seja positivo, devemos ter

$\\\mathsf{a<a_1~~~ou~~~a>a_2}\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\mathsf{a<\dfrac{4-\sqrt{7}}{3}~~~ou~~~a>\dfrac{4+\sqrt{7}}{3}} \end{array}}\quad\longleftarrow\quad\textsf{este \'e o intervalo procurado.}$


Bons estudos! :-)


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