Question

(50 pontos) Dada uma sequência numérica $\mathsf{\{a_n\}_{n\in \mathbb{N}^*},}$ ela é dita sequência crescente se,

para todo $\mathsf{n\in\mathbb{N}^*,}$ tivermos $\mathsf{a_{n+1}\ \textgreater \ a_n}.$


Considerando a definição acima, mostre que a sequência cuja lei é

$\mathsf{a_n=2^n}\qquad\quad\textsf{com }\mathsf{n\in \mathbb{N}^*}$

é uma sequência crescente.


Tags: sequência numérica sucessão natural exponencial

Answer 1

Olá Lukyo!
 
 Uma vez que $\mathsf{n \in \mathbb{N}^{\ast}}$, é fácil notar que $\mathsf{2^n > 0}$. Acrescentemos a isto o fato de dois ser maior que um. Segue,

$\\ \mathsf{2 > 1} \\\\ \Downarrow \\\\ \mathsf{2^n \cdot 2 > 2^n \cdot 1} \\\\ \Downarrow \\\\ \mathsf{2^{n + 1} > 2^n} \\\\ \Downarrow \\\\ \mathsf{a_{n+1} > a_n}$

 Que é a tese, de acordo com a definição dada no enunciado.

 Logo, concluímos que a sequência $\mathsf{a_n = 2^n \left ( n \in \mathbb{N}^{\ast} \right )}$, de fato, é crescente!