Question

log₂√x+1 + log₂√x+2 = 1 + log₂√33

obs: quero apenas a resolução
resposta= 10

Answer 1

Olá Silva,


Checando a condição de existência dos logaritmandos:

$\mathsf{C.E\begin{cases}\mathsf{x+1\ \textgreater \ 0\Rightarrow x\ \textgreater \ -1~~\gets C_1}\\\mathsf{x+2\ \textgreater \ 0\Rightarrow x\ \textgreater \ -2~~\gets C_2}\end{cases}}\\\\\\\\\mathsf{C_1\cap C_2\to S:\{x\in \mathbb{R}~|~x\ \textgreater \ -1\}}$

Organizando a equação, temos:


$\mathsf{\ell og_2(\sqrt{x+1})+\ell og_2(\sqrt{x+2})=1+\ell og_2(\sqrt{33})}\\\\=\\\\\mathsf{\ell og_2([\sqrt{x+1}]\cdot[\sqrt{x+2}])=\ell og_2(2)+\ell og_2(\sqrt{33})}\\\\=\\\\\mathsf{\ell og_2([\sqrt{x^2+2x+x+2}])=\ell og_2(2\cdot\sqrt{33})}\\\\=\\\\\mathsf{(\sqrt{x^2+3x+2})^2=(2\cdot\sqrt{33})^2\Longleftrightarrow x^2+3x+2=4\cdot33}\\\\=\\\\\mathsf{x^2+3x+2=132\Longleftrightarrow x^2+3x-130=0}$

$\mathsf{\Delta=b^2-4ac}\\\mathsf{\Delta=3^2-4\cdot1\cdot(-130)}\\\mathsf{\Delta=9+520}\\\mathsf{\Delta=529}\\\\\\\mathsf{x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\Longleftrightarrow x=\dfrac{-3\pm\sqrt{529}}{2\cdot1}}\\\\\\~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~\mathsf{x^+\swarrow~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~~ ~~~ ~~~~ ~~~~~~~~~~~\searrow x^-}\\\\\mathsf{x=\dfrac{-3+23}{2}\Longleftrightarrow \boxed{\boxed{\mathsf{x=10}}}~~~~~ ~~~ ~~~~~ ~x=\dfrac{-3-23}{2}\Longleftrightarrow \boxed{\mathsf{x=-13}}}$


Pela condição de existência temos que x deve ser maior que -1, portanto a solução pra essa equação é x = 10.

Dúvidas? comente

Answer 2

Vamos lá.

Veja, Silva, que a resolução é simples.
Tem-se a seguinte expressão logarítmica:

log₂ [√(x+1)] + log₂ [√(x+2)] = 1 + log₂ [√(33)]

Antes de mais nada, vamos às condições de existência. Note que só há logaritmo de números positivos (> 0). Então deveremos impor que os logaritmandos (x+1) e (x+2) deverão ser positivos (> 0). Assim, deveremos ter as seguintes condições de existência para que a expressão acima seja válida:

x + 1 > 0 ------ x > -1   <--- Esta é uma condição de existência.
e
x + 2 > 0 ---> x > -2 <--- Esta é outra condição de existência.

Agora veja: entre "x" ser maior do que "-1" e maior do que "-2", então vai prevalecer a primeira hipótese (x > -1), pois sendo "x" maior que "-1" já o será maior do que "-2".
Portanto a única condição de existência é que tenhamos:

x > -1  --- Esta é a única condição de existência para a validade da expressão acima.

Bem, agora que já vimos qual é a condição de existência, vamos trabalhar com a expressão dada, que é esta:

 log₂ [√(x+1)] + log₂ [√(x+2)] = 1 + log₂ [√(33)]

Note que o "1", que está no 2º membro, poderá ser substituído por log₂ (2), pois log₂ (2) = 1. Assim, no lugar do "1" do 2º membro, colocaremos log₂ (2).
Então ficaremos assim:

log₂ [√(x+1)] + log₂ [√(x+2)] = log₂ (2)  + log₂ [√(33)]

Veja: vamos transformar a soma em produto, com o que ficaremos assim:

log₂ [√(x+1)*√(x+2)] = log₂ [2*√(33)] ---- operacionalizando o logaritmando do 1º membro, teremos isto:

log₂ [√(x+1)*(x+2)] = log₂ [2*√(33)] ---- note que (x+1)*(x+2) = x²+3x+2. Logo:

log₂ [√(x²+3x+2)] = log₂ [2*√(33)] ---- agora veja: como as bases são iguais, então poderemos igualar os logaritmandos sem nenhum problema. Então, teremos que:

√(x²+3x+2) = 2*√(33) ----- para eliminar os radicais, vamos elevar ambos os membros ao quadrado, com o que ficaremos:

 [√(x²+3x+2)]²  = [2*√(33)]² ----- desenvolvendo os quadrados, ficaremos apenas com:

x² + 3x + 2 = 4*33
x² + 3x + 2 = 132 ----- passando "132" para o 1º membro, teremos:
x² + 3x + 2 - 132 = 0 ---- reduzindo os termos semelhantes, teremos:
x² + 3x - 130 = 0 ------ agora, para encontrar as respectivas raízes,  vamos aplicar a fórmula de Bháskara, que é esta:

x = [-b+-√(Δ)]/2a

Note que a equação acima tem os seguintes coeficientes:

a = 1 ------- (é o coeficiente de x²)
b =  3 ------- (é o coeficiente de x)
c = - 130 --- (é o coeficiente do termo independente)
Δ = b²-4ac = 3² - 4*1*(-130) = 9 + 520 = 529 <--- Este é o valor do delta.

Agora vamos substituir tudo isso na fórmula de Bháskara, com o que ficaremos:

x = [-3+-√529)]/2*1
x = [-3+-√(529)]/2 ----- como √(529) = 23, teremos:
x = [-3+-23]/2 ----- daqui você já conclui que:

x' = (-3-23)/2 = (-26)/2 = - 13
e
x'' = (-3+23)/2 = (20)/2 = 10 .

Agora veja: encontramos que, em princípio, "x" poderá ser igual a "-13" ou igual a "10". Contudo, como já vimos que, nas condições de existência, "x" deverá ser maior do que "-1", então, logo de cara, já descartamos a primeira raiz (x' = -13) e ficamos apenas com a segunda raiz, que é esta:

x = 10 <--- Pronto. Esta é a resposta.

Se você quiser, poderá apresentar o conjunto-solução da seguinte forma, o que é a mesma coisa:

S = {10} .

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.