Question

(a) Mostre que os vetores u e v são ortogonais, se e somente se, |u+v|=|u-v|. (b) Calcule (u x v).(5u + 6v), para quaisquer u e v.

Answer 1

a)
(u + v).(u + v) = u.u + 2 u.v + v.v
Como u e v são ortogonais, u.v = 0
|u + v|² = |u|² + |v|² (I) (Demonstração do Teorema de Pitágoras)

Ao se realizar o mesmo processo com -v, obtém-se:
(u - v).(u - v) = u.u - 2u.v + v.v
Como u e v são ortogonais, u.v = 0
|u - v|² = |u|² + |v|² (II)
"Juntando" (I) e (II)
|u + v|² = |u - v|²
Como módulo só assume valores positivos,
|u + v| = |u - v|

b)
(u x v).(5u + 6v) = (u x v).5u + (u x v).6v
Como (u x v) equivale a um vetor ortogonal a u e a v, e, consecutivamente, a 5u e a 6v, (u x v).5u = (u x v).6v = 0
Portanto,
(u x v).(5u + 6v) = 0 para quaisquer u e v.

Answer 2

a)
(=>) ida
se u e v são ortogonais então u.v=0 =>2uv=0
|u+v|^2=(u+v).(u+v)=|u|^2+2u.v+|v|^2=|u|^2+|v|^2
|u-v|^2=(u+v).(u+v)=|u|^2-2u.v+|v|^2=|u|^2+|v|^2
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|u+v|^2=|u-v|^2=>|u+v|=|u-v|

(<=)volta
|u+v|=|u-v|
=>|u+v|^2=|u-v|^2
|u|^2+2u.v+|v|^2=|u|^2-2uv+|v|^2
2uv=-2uv => 4uv=0 => uv=0
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b)
(u x v).(5u + 6v)=(u x v).5u +(u x v). 6v=  5 (u x v).u+  6.( u x v).v
= -5 (v xu ).u+6.( u x v).v= -5v.(u xu)+ 6 u.( v x v)= -5 .0+  6 u .0 =0