Question

Seja f(x) = | x | - 1 , ∀ x ∈ IR . Determine a função composta g(x) = ( f о f )(x)

Answer 1

Caso tenha problemas para visualizar a resposta pelo aplicativo, experimente abrir pelo navegador: https://brainly.com.br/tarefa/8086577

_______________


Temos uma função

$\begin{array}{lccl} \mathsf{f:}&\mathbb{R}&\!\!\to\!\!&\mathbb{R}\\ &\mathsf{x}&\!\!\mapsto\!\!&\mathsf{|x|-1} \end{array}$


Por definição de módulo, podemos escrever que

$\mathsf{f(x)=|x|-1}\\\\\\ \mathsf{f(x)}=\left\{\! \begin{array}{rl} \mathsf{x-1,}&\mathsf{se~~x\ge 0}\\\\ \mathsf{-x-1,}&\mathsf{se~~x<0} \end{array} \right.\qquad\quad\mathsf{(i)}$


Como $\mathsf{Im(f)\subset Dom(f),}$ podemos definir uma nova função $\mathsf{g},$ obtida pela composição de $\mathsf{f}$ com ela própria:

$\begin{array}{rccl} \mathsf{g:=f\circ f:}&\mathbb{R}&\!\!\to\!\!&\mathbb{R}\\ &\mathsf{x}&\!\!\mapsto\!\!&\mathsf{f\big[f(x)\big]} \end{array}\\\\\\ \begin{array}{rccl} \mathsf{g:}&\mathbb{R}&\!\!\to\!\!&\mathbb{R}\\ &\mathsf{x}&\!\!\mapsto\!\!&\mathsf{f(|x|-1)}\\\\\\ \mathsf{g:}&\mathbb{R}&\!\!\to\!\!&\mathbb{R}\\ &\mathsf{x}&\!\!\mapsto\!\!&\mathsf{\big||x|-1\big|-1} \end{array}$


Por definição de módulo, temos então que

$\mathsf{g(x)=\big||x|-1\big|-1}\\\\\\ \mathsf{g(x)}=\left\{\! \begin{array}{rl} \mathsf{(|x|-1)-1,}&\mathsf{se~~|x|-1\ge 0}\\\\ \mathsf{-(|x|-1)-1,}&\mathsf{se~~|x|-1<0} \end{array} \right.\\\\\\\\ \mathsf{g(x)}=\left\{\! \begin{array}{rl} \mathsf{|x|-2,}&\mathsf{se~~|x|\ge 1}\\\\ \mathsf{-|x|,}&\mathsf{se~~|x|<1} \end{array} \right.$


$\mathsf{g(x)}=\left\{\! \begin{array}{rl} \mathsf{|x|-2,}&\mathsf{se~~x\le -1~~ou~~x\ge 1}\\\\ \mathsf{-|x|,}&\mathsf{se~~-1<x<1} \end{array} \right.\qquad\quad\mathsf{(ii)}$

__________


Vamos desmembrar os módulos envolvidos em cada sentença de $\mathsf{g}$ para cada caso.


•   Para $\mathsf{x\le -1~~ou~~x\ge 1:}$

$\mathsf{g(x)=|x|-2}\\\\\\ \mathsf{g(x)}=\left\{\! \begin{array}{rl} \mathsf{x-2,}&\mathsf{se~~x\ge 0}\\\\ \mathsf{-x-2,}&\mathsf{se~~x<0} \end{array} \right.~~~~\textsf{e}~~~~ \mathsf{(x\le -1~~ou~~x\ge 1)}\\\\\\\\ \mathsf{g(x)}=\left\{\! \begin{array}{rl} \mathsf{x-2,}&\mathsf{se~~x\ge 1}\\\\ \mathsf{-x-2,}&\mathsf{se~~x\le -1} \end{array} \right.\quad\quad\mathsf{(iii)}$


•   Para $\mathsf{-1<x<1:}$

$\mathsf{g(x)=-|x|}\\\\\\ \mathsf{g(x)}=\left\{\! \begin{array}{rl} \mathsf{-(x),}&\mathsf{se~~x\ge 0}\\\\ \mathsf{-(-x),}&\mathsf{se~~x<0} \end{array} \right.~~~~\textsf{e}~~~~ \mathsf{-1<x<1}\\\\\\\\ \mathsf{g(x)}=\left\{\! \begin{array}{rl} \mathsf{-x,}&\mathsf{se~~0\le x<1}\\\\ \mathsf{x,}&\mathsf{se~~-1<x<0} \end{array} \right.\quad\quad\mathsf{(iv)}$

__________


Combinando $\mathsf{(iii)}$ e $\mathsf{(iv)},$ obtemos a lei da função $\mathsf{g}$ definida em várias sentenças:

$\mathsf{g(x)=\big||x|-1\big|-1}\\\\\\ \mathsf{g(x)}=\left\{\! \begin{array}{rl} \mathsf{-x-2,}&\mathsf{se~~x\le -1}\\\\ \mathsf{x,}&\mathsf{se~~-1<x<0}\\\\ \mathsf{-x,}&\mathsf{se~~0\le x<1}\\\\ \mathsf{x-2,}&\mathsf{se~~x\ge 1} \end{array} \right.\qquad\qquad\checkmark$


Bons estudos! :-)


Tags:   função composta modular múltiplas várias sentenças álgebra