Question

$Se \ f(x) \ \acute{e} \ a \ fun\c{c}\tilde{a}o \ real \ de \ vari\acute{a}vel \ real \ , \ tal \ que \\ f(9x-4)=x \ , \ qualquer \ que \ seja \ x \ , \ ent\tilde{a}o \ [3.f(x)- \frac{1}{3} ] :$

Answer 1

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Enunciado:

Se f(x) é a função real de variável real, tal que f(9x – 4) = x, qualquer que seja x, então 3 · f(x) – 1/3 é igual a:

a) x+4    b) x+3    c) x+1    d) x + 1/3    e) x/3 + 1

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Solução:

Temos que

$\mathsf{f(9x-4)=x}\\\\ \mathsf{f(9x-4)=\dfrac{9x}{9}}\\\\\\ \mathsf{f(9x-4)=\dfrac{9x-4+4}{9}}\\\\\\ \mathsf{f(9x-4)=\dfrac{1}{9}\,(9x-4)+\dfrac{4}{9}}\qquad\quad\mathsf{(i)}$


Seja

$\begin{array}{lccl} \mathsf{g:}&\mathbb{R}&\!\!\to\!\!&\mathbb{R}\\ &\mathsf{x}&\!\!\mapsto\!\!&\mathsf{9x-4} \end{array}$


isto é, para todo x real,

$\mathsf{g(x)=9x-4}$


Como $\mathsf{g}$ é uma função afim, definida para todo $\mathbb{R},$ temos que a imagem de $\mathsf{g}$ é todo o $\mathbb{R}:$

$\mathsf{Im(g)=\mathbb{R}.}$


Então, podemos fazer uma mudança de variável aqui.

Seja $\mathsf{t=g(x)=9x-4}.$


Substituindo em $\mathsf{(i)},$ obtemos

$\mathsf{f(t)=\dfrac{1}{9}\,t+\dfrac{4}{9}}\\\\\\ \mathsf{3\cdot f(t)=3\cdot \left(\dfrac{1}{9}\,t+\dfrac{4}{9}\right)}\\\\\\ \mathsf{3\cdot f(t)=\dfrac{1}{3}\,t+\dfrac{4}{3}}\\\\\\ \mathsf{3\cdot f(t)-\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{3}\,t+\dfrac{4}{3}-\dfrac{1}{3}}$

$\mathsf{3\cdot f(t)-\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{3}\,t+\dfrac{4-1}{3}}\\\\\\ \mathsf{3\cdot f(t)-\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{3}\,t+\dfrac{3}{3}}\\\\\\ \mathsf{3\cdot f(t)-\dfrac{1}{3}=\dfrac{t}{3}+1}$


Portanto,

$\boxed{\begin{array}{c}\mathsf{3\cdot f(x)-\dfrac{1}{3}=\dfrac{x}{3}+1} \end{array}}\qquad\quad\checkmark$


Resposta: alternativa e).


Bons estudos! :-)


Tags:  função composta inversa álgebra