Question

Qual o lim (cos x - cos 3x)/(x^2) x tende a zero?

Answer 1

Segundo a regra de L'Hôpital:
$\lim_{x \to 0} \frac{cos(x)-cos(3x)}{ x^{2}} = \lim_{x \to 0} \frac{3sen(x)-sen(x)}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{9\cos\left(3x\right)-\cos\left(x\right) }{2}$
Que substituindo as variáveis dará 4.

Answer 2

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Vamos calcular o limite dado, sem recorrer às regras de L'Hospital.

Identidade trigonométrica utilizada: uma das fórmulas de prostaférese (transformação de soma em produto):

     Diferença entre cossenos de dois arcos:

$\cos(p)-\cos(q)=-2\,\mathrm{sen}\!\left(\dfrac{p+q}{2}\right)\mathrm{sen}\!\left(\dfrac{p-q}{2}\right)$

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$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\cos(x)-\cos(3x)}{x^2}\\\\\\ =\lim_{x\to 0}\frac{-2\,\mathrm{sen}\!\left(\frac{x+3x}{2}\right)\mathrm{sen}\!\left(\frac{x-3x}{2}\right)}{x^2}\\\\\\ =\lim_{x\to 0}\frac{-2\,\mathrm{sen}\!\left(\frac{4x}{2}\right)\mathrm{sen}\!\left(\frac{-2x}{2}\right)}{x^2}\\\\\\ =\lim_{x\to 0}\frac{-2\,\mathrm{sen}(2x)\,\mathrm{sen}(-x)}{x^2}\qquad\qquad\text{mas, }\mathrm{sen}(-x)=-\mathrm{sen}(x)$

$\displaystyle=\lim_{x\to 0}\frac{-2\,\mathrm{sen}(2x)\cdot \big[\!-\mathrm{sen}(x)\big]}{x^2}\\\\\\ =\lim_{x\to 0}\frac{2\,\mathrm{sen}(2x)\,\mathrm{sen}(x)}{x^2}\\\\\\ =\lim_{x\to 0}2\cdot \frac{\mathrm{sen}(2x)}{x}\cdot \frac{\mathrm{sen}(x)}{x}\\\\\\ =\lim_{x\to 0}4\cdot \frac{\mathrm{sen}(2x)}{2x}\cdot \frac{\mathrm{sen}(x)}{x}$

$=\lim\limits_{x\to 0}4\cdot g(x)\cdot h(x)\qquad\quad\mathbf{(i)}$


sendo  $g(x)=\dfrac{\mathrm{sen}(2x)}{2x}$  e  $h(x)=\dfrac{\mathrm{sen}(x)}{x}.$


Calculemos o seguinte limite:

$\displaystyle\lim_{x\to 0}g(x)\\\\\\ =\lim_{x\to 0}\frac{\mathrm{sen}(2x)}{2x}\\\\\\ =\lim_{u\to 0}\frac{\mathrm{sen}(u)}{u}\qquad\quad(u=2x)\\\\\\ =1\qquad\quad\mathbf{(ii)}$


e temos também que

$\displaystyle\lim_{x\to 0}h(x)\\\\\ \lim_{x\to 0}\frac{\mathrm{sen}(x)}{x}\\\\\\=1\qquad\quad\mathbf{(iii)}$

(pelo limite trigonométrico fundamental).


Como existem os limites  $\lim\limits_{x\to 0}g(x)$  e  $\lim\limits_{x\to 0}h(x),$ então o limite $\mathbf{(i)}$ existe e é igual a

$\displaystyle=\lim_{x\to 0} 4\cdot \lim_{x\to 0}g(x)\cdot \lim_{x\to 0}h(x)\\\\\\ =4\cdot 1\cdot 1\\\\\\ =4\qquad\quad\checkmark\\\\\\\\ \therefore~~\boxed{\begin{array}{c}\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\cos(x)-\cos(3x)}{x^2}=4\end{array}}$


Bons estudos! :-)


Tags:  limite trigonométrico identidade transformação soma produto função ímpar substituição mudança de variável L'Hospital cálculo diferencial