Question

Seja E = (e1, e2, e3) uma base e F = (f1, f2, f3) tal que f1 = 2e1 + e2, f2 = e1 - 2e3 e f3 = e1 + e2 -e3. (a) Mostre que F é base. (b) Escreva a matriz mudança de base Mef e use-a para calcular as coordenadas do vetor u = (2,1,0) em relação à base E.

Obs.: Esta em anexo o enunciado da questão para ajudar

Answer 1

$a)f1 = 2e1 + e2 f2 = e1 - 2e3 e f3 = e1 + e2 -e3\\ \alpha (2e1 + e2)+ \beta( e1 - 2e3) + \gamma( e1 + e2 -e3)=0\\ (2\alpha +\beta+\gamma) e1+(\alpha+\gamma)e2+(-2\beta-\gamma)e3=0 =\ \textgreater \ \\ \alpha=0, \beta=0 , \gamma=0\\ f1,f2, f3\, e\, LI\\ como\, sao\, 3\, vetores\, e\, LI \,entao \, e \, uma \, base b)M= \left[\begin{array}{ccc}2&1&0\\1&0&-2\\1&1&-1\end{array}\right] \\ --------------------\\ [tex] M^{-1}=\left[\begin{array}{ccc} \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & -\frac{2}{3} \\ -\frac{1}{3} & -\frac{2}{3}& \frac{4}{3} \\ \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} & -\frac{1}{3} \end{array}\right]. \\ --------\\ \left[\begin{array}{ccc} \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & -\frac{2}{3} \\ -\frac{1}{3} & -\frac{2}{3}& \frac{4}{3} \\ \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} & -\frac{1}{3} \end{array}\right]. \left[\begin{array}{ccc}2\\1\\0\end{array}\right]\\ =\left[\begin{array}{ccc} \frac{5}{3} \\ -\frac{4}{3} \\ \frac{1}{3} \end{array}\right]$