Question

determine a solução da equação | 2-x| - 3| x| = -2

Answer 1

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Resolver a equação modular:

$\mathsf{|2-x|-3|x|=-2}\\\\ \mathsf{|2-x|=-2+3|x|}\\\\ \mathsf{|2-x|=3|x|-2}$


Elevando ambos os lados ao quadrado:

$\mathsf{|2-x|^2=(3|x|-2)^2}\\\\ \mathsf{(2-x)^2=(3|x|-2)^2}\\\\ \mathsf{\diagup\!\!\!\! 4-4x+x^2=9|x|^2-12|x|+\diagup\!\!\!\! 4}\\\\\mathsf{-4x+x^2=9x^2-12|x|}$

$\mathsf{12|x|=9x^2-x^2+4x}\\\\ \mathsf{12|x|=8x^2+4x}\\\\ \mathsf{\diagup\!\!\!\! 4\cdot 3|x|=\diagup\!\!\!\! 4\cdot x(2x+1)}\\\\ \mathsf{3|x|=x(2x+1)}$


Elevando os dois lados ao quadrado novamente, obtemos

$\mathsf{(3|x|)^2=\big[x(2x+1)\big]^2}\\\\ \mathsf{9|x|^2=x^2(2x+1)^2}\\\\ \mathsf{9x^2=x^2(2x+1)^2}\\\\ \mathsf{9x^2-x^2(2x+1)^2=0}$

$\mathsf{x^2\cdot \big[9-(2x+1)^2\big]=0}\\\\ \mathsf{x^2\cdot \big[9-(4x^2+4x+1)\big]=0}\\\\ \mathsf{x^2\cdot \big[9-4x^2-4x-1\big]=0}\\\\ \mathsf{x^2\cdot \big[-4x^2-4x+8\big]=0}\\\\ \mathsf{x^2\cdot (-4)(x^2+x-2)=0}$

$\mathsf{x^2\cdot (x^2+x-2)=0}\quad\longrightarrow\quad\textsf{fatorando por agrupamento:}\\\\ \mathsf{x^2\cdot (x^2+2x-1x-2)=0}\\\\ \mathsf{x^2\cdot \big[x(x+2)-1(x+2)\big]=0}\\\\ \mathsf{x^2\cdot (x+2)(x-1)=0}$

$\begin{array}{rcccl} \mathsf{x^2=0}&~\textsf{ ou }~&\mathsf{x+2=0}&~\textsf{ ou }~&\mathsf{x-1=0}\\\\ \mathsf{x=0}&~\textsf{ ou }~&\mathsf{x=-2}&~\textsf{ ou }~&\mathsf{x=1} \end{array}$


Atenção! Devemos testar os valores encontrados para verificar se são de fato soluções para a equação dada inicialmente.


•   Testando $\mathsf{x=0:}$

$\mathsf{|2-0|-3|0|}\\\\ =\mathsf{|2|-3\cdot 0}\\\\ =\mathsf{2-0}\\\\ =\mathsf{2}\\\\ \ne \mathsf{-2}\qquad\quad\diagup\!\!\!\!\!\diagdown$

não é solução.


•   Testando $\mathsf{x=-2:}$

$\mathsf{|2-(-2)|-3|-2|}\\\\ =\mathsf{|2+2|-3\cdot 2}\\\\ =\mathsf{4-6}\\\\ =\mathsf{-2}\qquad\quad\checkmark$

é solução.


•   Testando $\mathsf{x=1:}$

$\mathsf{|2-1|-3|1|}\\\\ =\mathsf{|1|-3\cdot 1}\\\\ =\mathsf{1-3}\\\\ =\mathsf{-2}\qquad\quad\checkmark$

também é solução.



Conjunto solução:   $\mathsf{S=\{-2,\,1\}.}$


Bons estudos! :-)


Tags:   equação modular testar solução resolver álgebra