Question

1 ) Considere os vetores u = (1,01), v = (0,-2,1) e w = (1,4,0) relativos a uma base ortonormal B. Pede-se:
Um vetor a de módulo 2 ortogonal a u e a v.

2) Considere os vetores u = (1,0,2), v = (1,-1,-1) e w = (-2,2,m+1). Pede-se:
Um vetor z paralelo a u e tal que z.v=2.

Answer 1

1-
a = (x,y,z)
Se a é ortogonal a u e a v,

a.u = 0
(x,y,z).(1,0,1) = 0
x + z = 0 (I)

a.v = 0
(x,y,z).(0,-2,1) = 0
- 2y + z = 0 (II)

Como |a| = 2
a.a = 4
x² + y² + z² = 4
Como x² = z² (I)
y² + 2z² = 4
Como z² = 4y² (II)
9y² = 4
y = ±$\displaystyle\frac{2}{3}$

Como z = 2y (II)
z = - (±$\displaystyle\frac{4}{3}$)

Como x = - z (I)
x = - [- (±$\displaystyle\frac{4}{3}$)]
x = ±$\displaystyle\frac{4}{3}$

Logo
a = $(\displaystyle\frac{4}{3}$,$\displaystyle\frac{2}{3}$,$-\displaystyle\frac{4}{3})$ ou a = $(-\displaystyle\frac{4}{3}$,$-\displaystyle\frac{2}{3}$,$\displaystyle\frac{4}{3})$

2-
Se z é paralelo a u, z é uma combinação linear de u,
z = u.k
Sendo k uma constante
z = (k,0,2k)
Como z.v = 2
(k,0,2k).(1,-1,-1) = 2
k - 2k = 2
k = -2
Logo,
z = (-2,0,-4)

Answer 2

1) Para encontrarmos a direção de um vetor ortogonal a u e v simultaneamente, podemos calcular o produto vetorial entre os dois:

$u\times v=\left|\begin{matrix}\vec i&&\vec j&&\vec k\\1&&0&&1\\0&&-2&&1\end{matrix}\right|=(0-(-2))\vec i+(0-1)\vec j+((-2)-0)\vec k\\\\ u\times v=(2,-1,-2)$

Dessa forma, queremos encontrar o vetor a que, por ser ortogonal a u e v, é um múltiplo do vetor $u\times v$. Logo, a é da forma: $\vec a=t(2,-1,-2)\iff \vec a=(2t,-t,-2t)$. Sabemos que o módulo de a é 2. Assim:

$||\vec a||=2\iff\sqrt{(2t)^2+(-t)^2+(-2t)^2}=2\iff \sqrt{9t^2}=2\iff\\\\ 9t^2=4\iff t^2=\dfrac{4}{9}\iff t=\pm\dfrac{2}{3}$

Portanto, há duas possibilidades para o vetor a:

$\vec a_1=\left(2\cdot\dfrac{2}{3},(-1)\cdot\dfrac{2}{3},(-2)\cdot\dfrac{2}{3}\right)\iff\\\\ \boxed{\vec a_1=\left(\dfrac{4}{3},-\dfrac{2}{3},-\dfrac{4}{3}\right)}$

$\vec a_2=\left(2\cdot\left(-\dfrac{2}{3}\right),(-1)\cdot\left(-\dfrac{2}{3}\right),(-2)\cdot\left(-\dfrac{2}{3}\right)\right)\iff\\\\ \boxed{\vec a_2=\left(-\dfrac{4}{3},\dfrac{2}{3},\dfrac{4}{3}\right)}$

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2) Como o vetor z é paralelo a u, podemos dizer que tem a forma: $z=tu=t(1,0,2)\iff z=(t,0,2t)$, onde t é um escalar. Fazendo o produto escalar dado:

$z\cdot v=2\iff (t,0,2t)\cdot(1,-1,-1)=2\iff \\\\t\cdot1+0\cdot(-1)+2t\cdot(-1)=2\iff t-2t=2\iff\\\\-t=2\iff \boxed{t=-2}\Longrightarrow\boxed{\boxed{z=(-2,0,-4)}}$