Question

a expressao sen 10+cos20 é equivalente a?
a)v3/2 cos 50 b)v3cos50 c)cos50/2 d)cos 50 e)sen 40

Answer 1

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Queremos transformar em produto a seguinte soma:

$\mathsf{sen\,10^\circ+cos\,20^\circ}$


Acima temos a soma do seno de um ângulo com o cosseno de outro ângulo. Antes de transformar em produto, devemos transformar as parcelas para a mesma razão trigonométrica (ambas para seno ou ambas para cosseno).


Optemos por trabalhar com ambas as parcelas expressas em cosseno.


Sabemos que, por propriedade de arcos complementares,

$\mathsf{sen\,10^\circ}\\\\ =\mathsf{cos(90^\circ-10^\circ)}\\\\ =\mathsf{cos\,80^\circ}$


e dessa forma, a soma que desejamos calcular fica

$\mathsf{cos\,80^\circ+cos\,20^\circ\qquad\quad\mathsf(i)}$

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Identidade trigonométrica utilizada: uma das fórmulas de prostaférese (transformação de soma em produto)

    A soma entre cossenos de dois arcos:

$\mathsf{cos(p)+cos(q)=2\,cos\!\left(\dfrac{p+q}{2}\right)cos\!\left(\dfrac{p-q}{2}\right)}$

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Então, a soma $\mathsf{(i)}$ fica

$=\mathsf{2\,cos\!\left(\dfrac{80^\circ+20^\circ}{2}\right)cos\!\left(\dfrac{80^\circ-20^\circ}{2}\right)}}\\\\\\ =\mathsf{2\,cos\!\left(\dfrac{100^\circ}{2}\right)cos\!\left(\dfrac{60^\circ}{2}\right)}}\\\\\\ =\mathsf{2\,cos\,50^\circ\,cos\,30^\circ}\\\\\\ =\mathsf{\diagup \hspace{-7} 2\,cos\,50^\circ\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{\diagup \hspace{-7} 2}}$

$=\mathsf{\sqrt{3}\,cos\,50^\circ}\qquad\quad\checkmark$


Resposta:   alternativa b).


Bons estudos! :-)


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