Question

Uma urna contém uma bola amarela e uma bola azul. Vamos fazer o seguinte experimento, retiramos 1 bola, anotamos sua cor e colocamos ela de volta junto com mais uma bola da mesma cor. Este experimento é feito 3 vezes. Seja X o número de bolas amarelas entre as retiradas. Calcule a distribuição de probabilidade, a função de distribuição acumulada, a esperança de X, a variância de X. Faça também o gráfico de F(x).

Answer 1

Sendo $X$ o número de bolas amarelas retiradas, temos que $X\in\{0,1,2,3\}$ com probabilidade 1.
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Fiz uma árvore de probabilidade representando o experimento (anexo). Vou explicar cada caminho:

$\bullet$ Amarela - Amarela - Amarela

Na 1ª retirada, tira-se amarela com probab. $\frac{1}{2}$ (pois há 1 bola azul e 1 bola amarela equiprováveis na urna);
Na 2ª retirada, tira-se amarela com probab. $\frac{2}{3}$ (agora existem 2 bolas amarelas e 1 azul na urna);
Na 3ª retirada, tira-se amarela com probab. $\frac{3}{4}$ (agora existem 3 bolas amarelas e 1 azul na urna)

$\bullet$ Amarela - Amarela - Azul

Na 1ª retirada, tira-se amarela com probab. $\frac{1}{2}$;
Na 2ª retirada, tira-se amarela com probab. $\frac{2}{3}$ (pois existem 2 bolas amarelas e 1 azul na urna);
Na 3ª retirada, tira-se azul com probab. $\frac{1}{4}$ (pois existem 3 bolas amarelas e 1 azul na urna)

$\bullet$ Amarela - Azul - Amarela

Na 1ª retirada, tira-se amarela com probab. $\frac{1}{2}$;
Na 2ª retirada, tira-se azul com probab. $\frac{1}{3}$ (pois existem 2 bolas amarelas e 1 azul na urna, no momento)
Na 3ª retirada, tira-se amarela com probab. $\frac{1}{2}$ (pois existem 2 bolas amarelas e 2 azuis na urna)

Os outros caminhos são análogos, só trocando as cores das bolas. Pararei por aqui pois a explicação completa é desnecessária e ocuparia muito espaço
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Com isso, podemos encontrar a função de probabilidade de $X$:

$P(X=0)=P(a\cap a\cap a)=\frac{1}{2}\times\frac{2}{3}\times\frac{3}{4}=\frac{1}{4}\\\\\\P(X=1)=P(A\cap a\cap a)+P(a\cap A\cap a)+P(a\cap a\cap A)\\\\=\frac{1}{2}\times\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times\frac{2}{3}\times\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$


$P(X=2)=P(A\cap A\cap a)+P(a\cap A\cap A)+P(A\cap a\cap A)\\\\=\frac{1}{2}\times\frac{2}{3}\times\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\times\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{4}\\\\\\P(X=3)=P(A\cap A\cap A)=\frac{1}{2}\times\frac{2}{3}\times\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$

Logo, temos que

$\boxed{\boxed{P(X=x)=\begin{cases}\frac{1}{4},~~se~x\in\{0,1,2,3\}\\0,~~caso~contr\'ario\end{cases}}}$
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A função de distribuição acumulada de $X$ é definida por $F_{X}(x)=P(X\le x)$

Para $x~\textless~0$, temos $F_{X}(x)=P(X\le x)=0$

Para $0\le x~\textless~1$, $F_{X}(x)=P(X\le x)=P(X=0)=\frac{1}{4}$

Para $1\le x~\textless~2$, $F_{X}(x)=P(X\le x)=P(X=0)+P(X=1)=\frac{1}{2}$

Para $2\le x~\textless~3$, $F_{X}(x)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=\frac{3}{4}$

Finalmente, para $x\ge3$, $P(X\le x)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=1$

Portanto, a função de distribuição acumulada de $X$ é

$F_{X}(x)=\begin{cases}0,~~~se~x~\textless~0\\\frac{1}{4},~~se~0\le x~\textless~1\\\frac{1}{2},~~se~1\le x~\textless~2\\\frac{3}{4},~~se~2\le x~\textless~3\\1,~~se~x\ge3\end{cases}$

Seu gráfico é simples de ser feito: É um gráfico escada, com saltos em $x=0,\,x=1,\,x=2$ e $x=3$ (em anexo)
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O valor esperado de $X$ é dado por

$E[X]:=\displaystyle\sum_{x}xP(X=x)=\sum_{x=0}^{3}xP(X=x)\\\\=0\times P(X=0)+1\times P(X=1)+2\times P(X=2) + 3\times P(X=3)\\\\=\frac{1}{4}+\frac{2}{4}+\frac{3}{4}~~~\Longrightarrow~~~\boxed{\boxed{E[X]=\frac{3}{2}}}$

Para a variância, vamos calcular $E[X^{2}]$:

$E[X^{2}]=\displaystyle\sum_{x}x^{2}P(X=x)\\=0^{2}P(X=0)+1^{2}P(X=1)+2^{2}P(X=2)+3^{2}P(X=3)\\\\=\frac{1}{4}+\frac{4}{4}+\frac{9}{4}~~\Longrightarrow~~\boxed{\boxed{E[X^{2}]=\frac{7}{2}}}$

Portanto, a variância de $X$ é

$\mathtt{Var}[X]=E[(X-E[X])^{2}]=E[X^{2}]-\big(E[X]\big)^{2}=\dfrac{7}{2}-\bigg(\dfrac{3}{2}\bigg)^{2}\\\\\mathtt{Var}[X]=\dfrac{14}{4}-\dfrac{9}{4}\\\\\\\boxed{\boxed{\mathtt{Var}[X]=\dfrac{5}{4}}}$