Question

Se a relação dos volumes de duas bolas é 1:25, então a relação das superfícies destas bolas é

Answer 1

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Duas bolas são sempre semelhantes, pois ambas são esféricas.


Para representar as dimensões, vamos usar

•   L para comprimento.

•   A para superfície.

•   V para volume.

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•   A razão entre os volumes é igual ao cubo da razão entre os comprimentos:

$\mathsf{\dfrac{V_1}{V_2}=\left(\dfrac{L_1}{L_2}\right)^{\!\!3}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{L_1}{L_2}=\left(\dfrac{V_1}{V_2}\right)^{\!\!1/3}\qquad\quad(i)}$


•   A razão entre as superfícies é igual ao quadrado da razão entre os comprimentos:

$\mathsf{\dfrac{A_1}{A_2}=\left(\dfrac{L_1}{L_2}\right)^{\!\!2}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{L_1}{L_2}=\left(\dfrac{A_1}{A_2}\right)^{\!\!1/2}\qquad\quad(ii)}$


Igualando $\mathsf{(i)}$ e $\mathsf{(ii)},$ ficamos com

$\mathsf{\left(\dfrac{V_1}{V_2}\right)^{\!\!1/3}=\left(\dfrac{A_1}{A_2}\right)^{\!\!1/2}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{A_1}{A_2}=\mathsf{\left(\dfrac{V_1}{V_2}\right)^{\!\!2/3}}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{A_1}{A_2}=\mathsf{\left(\dfrac{1}{25}\right)^{\!\!2/3}}}$

$\mathsf{\dfrac{A_1}{A_2}=\dfrac{1}{(5^2)^{2/3}}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{A_1}{A_2}=\dfrac{1}{5^{4/3}}}\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\mathsf{\dfrac{A_1}{A_2}\approx 1:8,\!55} \end{array}}\quad\longleftarrow\quad\textsf{raz\~ao aproximada entre as superf\'icies.}$


Bons estudos! :-)


Tags:  razão entre área superfície volume comprimento figuras semelhantes proporção geometria espacial