Question

f(x) = log 1-x/1+x

f(a) + f(b) = ?

Answer 1

Olá, tudo bem? Vamos obter, separadamente, 1)"f(a) + f(b)" e 2)"f(a+b/1+ab)" e, visualmente, observar que são iguais, assim:

1)Obtendo "f(a) + f(b)"... :

$\text{Se}~~f(a)=\log~\frac{1-a}{1+a}~~\text{e}~~f(b)=\log~\frac{1-b}{1+b},~~\text{ent\~ao}:\\\\f(a)+f(b)=\log~\frac{1-a}{1+a}+\log~\frac{1-b}{1+b}~~\text{Propriedade da Soma de Logaritmos:}\\\\f(a)+f(b)=\log~\left(\frac{1-a}{1+a}\times \frac{1-b}{1+b}\right)\\\\\boxed{f(a)+f(b)=\log\left( \dfrac{1-b-a+ab}{1+b+a+ab} \right)}~~(I)$

2)Obtendo f(a+b/1+ab) ... :

$f\left( \frac{a+b}{1+ab} \right)=\log\dfrac{1-\left( \frac{a+b}{1+ab} \right)}{1+\left( \frac{a+b}{1+ab} \right)}=\dfrac{\frac{1+ab-(a+b)}{1+ab}}{\frac{1+ab+(a+b)}{1+ab}}~~\text{...extremos e meios...}\\\\ f\left( \frac{a+b}{1+ab} \right)=\dfrac{(1+ab).(1+ab-a-b)}{(1+ab).(1+ab+a+b)}~~\text{...simplificando}~~(1+ab)...:\\\\\boxed{f\left( \frac{a+b}{1+ab} \right)=\log\left(\dfrac{1-b-a+ab}{1+b+a+ab}\right)}~~(II)$

Portanto, ao observarmos os resultados (I) e (II), chegamos à conclusão que é verdadeira a afirmação f(a) + f(b) = f(a+b/1+ab).

Qualquer dúvida, por favor, é só me comunicar, ok? Muito Agradecido!!