Question

o reticulado a seguir representa as quadras de parte de uma cidade, onde não há vias de mão única.

reticulado em anexo.

Uma viatura em combate a incêndios deve deslocar-se rapidamente do ponto A, sua base, ao ponto B, local de uma ocorrência a ser atendida. Supondo que a viatura cumpra o menor percurso possível, o número de formas como isso pode ser feito é igual a:

R = 3003

Answer 1

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Observando as condições do enunciado:

•   Queremos partir do ponto A até o ponto B, percorrendo a menor distância possível.

•   Só podemos caminhar sobre as arestas do reticulado.


Observe que, para que o percurso seja feito em menor número de passos possíveis, devemos caminhar

•   5 arestas na vertical, e sempre de cima para baixo;

•   10 arestas na horizontal, e sempre da esquerda para a direita.


Representando um movimento vertical por "V" e um movimento horizontal por "H", uma ordem possível seria

   V   V   V   V   V   H   H   H   H   H   H   H   H   H   H 


Mas veja que a ordem de escolha da direção não é relevante para chegarmos ao destino final. Basta que sejam 5 na vertical para baixo, e 10 na horizontal da esquerda para a direita.


O total de caminhos possíveis é a quantidade de anagramas que esta palavra possui:

   V   V   V   V   V   H   H   H   H   H   H   H   H   H   H 

que é uma palavra formada por 15 letras, com repetição de 5 letras V e de 10 letras H:


Sendo assim, o total de formas que se tem de chegar de A até B é

$\mathsf{P_{15}^{5,\,10}=\dfrac{P_{15}}{P_5\cdot P_{10}}}\\\\\\ \mathsf{P_{15}^{5,\,10}=\dfrac{15!}{5!\cdot 10!}}\\\\\\ \mathsf{P_{15}^{5,\,10}=\dfrac{15\cdot 14\cdot 13\cdot 12\cdot 11\cdot \diagup\!\!\!\!\!\! 10!}{5!\cdot \diagup\!\!\!\!\!\! 10!}}$

$\mathsf{P_{15}^{5,\,10}=\dfrac{15\cdot 14\cdot 13\cdot 12\cdot 11}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}\\\\\\\mathsf{P_{15}^{5,\,10}=\dfrac{(\diagup\!\!\!\! 5\cdot \diagup\!\!\!\!\diagup\!\!\!\!\! 3)\cdot (\diagdown\!\!\!\!\diagdown\!\!\!\!\! 2\cdot 7)\cdot 13\cdot (\diagdown\!\!\!\! 4\cdot 3)\cdot 11}{\diagup\!\!\!\! 5\cdot \diagdown\!\!\!\!\! 4\,\cdot \diagup\!\!\!\!\diagup\!\!\!\!\! 3\cdot \diagdown\!\!\!\!\diagdown\!\!\!\!\! 2\cdot 1}}\\\\\\ \mathsf{P_{15}^{5,\,10}=7\cdot 3\cdot 13\cdot 11}\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\mathsf{P_{15}^{5,\,10}=3\,003} \end{array}}\quad\longleftarrow\quad\textsf{esta \'e a resposta.}$


Bons estudos! :-)


Tags:   permutação com repetição anagrama lógica análise combinatória