Question

A diagonal BC de um quadrado ABCD esta contida na reta

r : X = (1, 0, 0) + t(0, 1, 1), t ∈ IR.

Sabendo que A = (1, 1, 0), determine os outros tres vértices.

Answer 1

Caso tenha problemas para visualizar pelo aplicativo, experimente abrir pelo navegador:  https://brainly.com.br/tarefa/8093131

_______________


Veja figura em anexo.


•   Temos a equação de uma reta na forma vetorial:

$\mathsf{r:~X=(1,\,0,\,0)+t(0,\,1,\,1),\qquad\quad t\in\mathbb{R}.}$


Para $\mathsf{t=0},$ obtemos um ponto desta reta:

$\mathsf{P=(1,\,0,\,0)\in r.}$


e $\overrightarrow{\mathsf{v}}=\mathsf{(0,\,1,\,1)}$ é um vetor diretor de $\mathsf{r}.$
 

•   Se $\overline{\mathsf{BC}}$ é diagonal do quadrado, então os vértices B e C não são consecutivos.

Sendo assim, vamos assumir que o quadrado é ABDC.


•   O ponto $\mathsf{A}$ é externo à reta $\mathsf{r},$ do contrário os pontos A, B e C seriam colineares e não poderiam ser vértices de um mesmo quadrado.


O vetor $\overrightarrow{\mathsf{PA}}$ é

$\overrightarrow{\mathsf{PA}}\\\\ =\mathsf{A-P}\\\\ =\mathsf{(1,\,1,\,0)-(1,\,0,\,0)}\\\\ =\mathsf{(1-1,\,1-0,\,0-0)}\\\\ =\mathsf{(0,\,1,\,0)\qquad\quad\checkmark}$


O ponto $\mathsf{Q}$ é o ponto médio da diagonal $\mathsf{\overline{BC}}.$


$\overrightarrow{\mathsf{PQ}}$ é a projeção do vetor $\overrightarrow{\mathsf{PA}}$ na direção de $\overrightarrow{\mathsf{v}}.$


Calculando as coordenadas desse vetor:

$\overrightarrow{\mathsf{PQ}}=\mathsf{proj}_{\overrightarrow{\mathsf{v}}}\overrightarrow{\mathsf{PA}}\\\\\\ =\mathsf{\dfrac{\overrightarrow{\mathsf{PA}}\cdot \overrightarrow{\mathsf{v}}}{\|\overrightarrow{\mathsf{v}}\|^2}\cdot \overrightarrow{\mathsf{v}}}\\\\\\ =\mathsf{\dfrac{(0,\,1,\,0)\cdot (0,\,1,\,1)}{\|(0,\,1,\,1)\|^2}\cdot (0,\,1,\,1)}\\\\\\ =\mathsf{\dfrac{0\cdot 0+1\cdot 1+0\cdot 1}{0^2+1^2+1^2}\cdot (0,\,1,\,1)}$


$\therefore~~\overrightarrow{\mathsf{PQ}}=\mathsf{\dfrac{1}{2}\cdot (0,\,1,\,1)\qquad\quad\checkmark}$


As coordenadas do ponto $\mathsf{Q}:$

$\mathsf{\overrightarrow{\mathsf{PQ}}=Q-P}\\\\ \mathsf{\dfrac{1}{2}\cdot (0,\,1,\,1)=Q-(1,\,0,\,0)}\\\\\\ \mathsf{Q=\dfrac{1}{2}\cdot (0,\,1,\,1)+(1,\,0,\,0)}\\\\\\ \mathsf{Q=\bigg(1,\,\dfrac{1}{2},\,\,\dfrac{1}{2}\bigg)}$


Por soma de vetores, temos que

$\overrightarrow{\mathsf{PQ}}+\overrightarrow{\mathsf{QA}}=\overrightarrow{\mathsf{PA}}\\\\\\ \overrightarrow{\mathsf{QA}}=\overrightarrow{\mathsf{PA}}-\overrightarrow{\mathsf{PQ}}\\\\ =\mathsf{\bigg(0,\,1,\,0)-\dfrac{1}{2}\cdot (0,\,1,\,1\bigg)}\\\\\\ =\mathsf{\bigg(0,\,1-\dfrac{1}{2},\,0-\dfrac{1}{2}\bigg)}$

$=\mathsf{\bigg(0,\,\dfrac{1}{2},\,-\dfrac{1}{2}\bigg)}\\\\\\ \therefore~~\overrightarrow{\mathsf{QA}}=\mathsf{\dfrac{1}{2}\cdot (0,\,1,\,-1)}\qquad\quad\checkmark$


O comprimento de $\overrightarrow{\mathsf{QA}}$ é a metade da medida da diagonal do quadrado:

$\mathsf{\dfrac{d}{2}=\|\overrightarrow{\mathsf{QA}}\|}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{d}{2}=\left\|\dfrac{1}{2}\cdot (0,\,1,\,-1)\right\|}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{d}{\diagup\!\!\!\! 2}=\dfrac{1}{\diagup\!\!\!\! 2}\cdot \sqrt{0^2+1^2+(-1)^2}}\\\\\\ \mathsf{d=\sqrt{2}}\quad\longleftarrow\quad\textsf{medida da diagonal do quadrado.}$


•   As coordenadas dos pontos B e C:

$\mathsf{B=Q-\dfrac{d}{2}\cdot \dfrac{\overrightarrow{\mathsf{v}}}{\|\overrightarrow{\mathsf{v}}\|}}\\\\\\ \mathsf{B=\bigg(1,\,\dfrac{1}{2},\,\dfrac{1}{2}\bigg)-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot \dfrac{(0,\,1,\,1)}{\sqrt{2}}}\\\\\\ \mathsf{B=\bigg(1,\,\dfrac{1}{2},\,\dfrac{1}{2}\bigg)-\dfrac{1}{2}\cdot (0,\,1,\,1)}\\\\\\ \mathsf{B=(1,\,0,\,0)}\qquad\checkmark$

(por acaso, o ponto B coincide com o ponto P)


$\mathsf{C=Q+\dfrac{d}{2}\cdot \dfrac{\overrightarrow{\mathsf{v}}}{\|\overrightarrow{\mathsf{v}}\|}}\\\\\\ \mathsf{C=\bigg(1,\,\dfrac{1}{2},\,\dfrac{1}{2}\bigg)+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot \dfrac{(0,\,1,\,1)}{\sqrt{2}}}\\\\\\ \mathsf{C=\bigg(1,\,\dfrac{1}{2},\,\dfrac{1}{2}\bigg)+\dfrac{1}{2}\cdot (0,\,1,\,1)}\\\\\\ \mathsf{C=(1,\,1,\,1)}\qquad\checkmark$


•   Para encontrar a coordenada de $\mathsf{D},$ levamos em conta que

$\mathsf{\overrightarrow{\mathsf{AD}}=-2\cdot \overrightarrow{\mathsf{QA}}}\\\\ \mathsf{D-A=-2\cdot \overrightarrow{\mathsf{QA}}}\\\\ \mathsf{D=-2\cdot \overrightarrow{\mathsf{QA}}+A}\\\\ \mathsf{D=-2\cdot \dfrac{1}{2}\cdot (0,\,1,\,-1)+(1,\,1,\,0)}\\\\\\ \mathsf{D=(0,\,-1,\,1)+(1,\,1,\,0)}\\\\\\ \mathsf{D=(1,\,0,\,1)}\qquad\quad\checkmark$


Bons estudos! :-)


Tags:   quadrado coordenada vértice diagonal equação vetorial reta projeção ortogonal vetor geometria analítica álgebra