Question

Em uma turma sabe-se que:
. 140 Alunos cursam o curso A
. 130 Alunos cursam o curso B
. 160 Cursam o curso C
. 40 Cursam o curso D
. 30 Cursam os cursos A e C
. 50 Cursam os cursos B e C
. 40 Cursam os cursos A e B
. 20 Cursa o curso A e D
. 10 Resolveu ficar sem cursar nenhum dos cursos.

A) Sabendo disso quantos alunos cursam apenas os cursos A e D ?
B) De quantas Maneiras posso escolher 4 alunos sendo que eles devem cursar apenas B e C?
C) Escolhendo 2 alunos qual a probabilidade de eles cursarem C e Não cursarem nenhum curso?

Answer 1

Olá Spawwn.



Organizando as informações:


$\mathsf{A=140}\\\mathsf{B=130}\\\mathsf{C=160}\\\mathsf{D=40}\\\mathsf{A\cap C=30}\\\mathsf{B\cap C= 50}\\\mathsf{A\cap B=40}\\\mathsf{A\cap D=20}\\\mathsf{K=10~~\gets}\mathit{~ Sem~curso }\\\\\\\mathsf{A=140-[(A\cap C)+(A\cap B)+(A\cap D)]}\\\mathsf{A=140-[30+40+20] }\\\mathsf{A=50}\\\\\\\mathsf{B=130-[(B\cap C)+(A\cap B)]}\\\mathsf{B=130-[50+40]}\\\mathsf{B=130-90}\\\mathsf{B=40}\\\\\\\mathsf{C=160-[(A\cap C)+(B\cap C)]}\\\mathsf{C=160-[30+50]}\\\mathsf{C=80}$

$\mathsf{D=40-(A\cap D)}\\\mathsf{D=40-20}\\\mathsf{D=20}\\\\\\\mathsf{A-~}\textsc{Sabendo~disso,~quantos~alunos~cursam~apenas~os~cursos~A~e~D?}$


A quantidade de alunos que cursam o curso A é de 50 alunos, e o curso D é de 20 alunos.


$\mathsf{B-~}\textsc{De~quantas~maneiras~posso~escolher~4~alunos~sendo~que}\\~~~~~~~~\textsc{eles~devem~cursar~apenas~B~e~C~?}$

Como a ordem de alunos não importa (se eu escolher {a, b, c ,d } é o mesmo que escolher {d, c, b, a}), iremos trabalhar com conjuntos dos alunos do curso B e C tomados 4 a 4:


$\mathsf{_bC_{(40,4)}=\dfrac{40!}{(40-4)!\cdot 4!}\Rightarrow \dfrac{40!}{36!\cdot 4!}\Rightarrow \dfrac{\diagdown\!\!\!\!\!40\cdot\diagup\!\!\!\!\!39\cdot\diagdown\!\!\!\!\!\!38\cdot37\cdot\diagup\!\!\!\!\!36!}{\diagup\!\!\!\!\!36!\cdot \diagdown\!\!\!\!\!4\cdot \diagup\!\!\!\!3\cdot\diagdown\!\!\!\!\!2\cdot 1}}\\\\=\\\\\mathsf{10\cdot13\cdot 19\cdot 37=91.390}$

$\mathsf{_cC_{(80,4)}=\dfrac{80!}{(80-4)!\cdot 4!}\Rightarrow \dfrac{\diagdown\!\!\!\!80\cdot79\cdot\diagup\!\!\!\!78\cdot77\cdot\diagup\!\!\!\!76!}{\diagup\!\!\!\!76!\cdot\diagdown\!\!\!\!4\cdot 3\cdot\diagup\!\!\!\!2\cdot1}}\\\\=\\\\\mathsf{\dfrac{20\cdot79\cdot39\cdot77}{3}=1.581.580}\\\\\\\\\mathsf{_bC_~~x~~}\mathsf{_cC=91.390\cdot 1.581.580=\boxed{\mathsf{144.540.596.200}}}$


Temos 144.540.596.200 possibilidades!


$\mathsf{C-~}\textsc{Escolhendo~2~alunos,~qual~a~probabilidade~de~eles~cursarem}\\~~~~~~~\textsc{C~e~\n\~ao~cursarem~nenhum~curso~?}$


Sabendo que a quantidade de alunos que cursam o curso C é de 80, e os que não cursam nenhum curso é de 10, temos:


$\mathsf{_cC_{(80,2)}=\dfrac{80!}{(80-2)!\cdot2!}\Rightarrow\dfrac{\diagdown\!\!\!\!\!80\cdot79\cdot\diagup\!\!\!\!78!}{\diagup\!\!\!\!\!78!\cdot \diagdown\!\!\!\!2\cdot1}\Rightarrow 40\cdot79=3.160}\\\\\\\\\mathsf{C_{(10,2})=\dfrac{10!}{(10-2)!\cdot2!}\Rightarrow\dfrac{\diagdown\!\!\!\!\!10\cdot9\cdot\diagup\!\!\!\!8!}{\diagup\!\!\!\!8!\cdot \diagdown\!\!\!\!2 \cdot 1}\Rightarrow 5\cdot9=45}\\\\\\\\\mathsf{_cC_~~x~~}\mathsf{C=3.160\cdot45=\boxed{\mathsf{142.200}}}$


Colocarei um diagrama de Venn para elucidar melhor a resposta.


Dúvidas? comente.