Question

Calcule a soma (x’+ x”) e o produto (x’. x”) das raízes da função expressa pelo gráfico
abaixo.

Answer 1

Brubs,

Do gráfico pode-se obter por leitura direta as raízes
           x1 = 2
           x2 = 4
                                 x1 + x2 = 6 (2 + 4 = 6)
                                 x1.x2 = 8 = (2.4 = 8)

Se você preferir, use as relações de Girard.
       x1 + x2 = - b/a
       x1.x2 = c/a
Para tanto é necessário determinar a equação

Conhecendo as raízes
       (x - x1)(x - x2) = 0
                                           (x - 2)(x - 4) = 0
                                           x^2 - 6x + 8 = 0
                                                                       x1 + x2 = 1 [- (-6)/1 = 6]
                                                                       x1.x2 = 8 (8/1 = 8)

Answer 2

A função do equação do 2º grau pode ser escrita na forma:
                        f(x) = a · (x - x') · (x - x")
onde x' e x" são as raízes da função, que são obtidas fazendo
f(x) = 0.
Vamos desenvolver f(x) para entender o processo:
                        f(x) = a · (x - x') · (x - x")
                        f(x) = a · [x² - x" · x - x' · x + x' · x"]
                        f(x) = a · [x² - (x" + x' )· x + (x' · x")]
                        f(x) = a · [x² - (x' + x" )· x + (x' · x")]
        Observe que é uma simples demostração que pode nós informa a soma e o produto das raízes.
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Segundo informações do gráfico, as raízes são x' = 2 e x" = 4, vamos substituir na função demonstrada:

                         f(x) = a · [x² - (x' + x" )· x + (x' · x")]
                         f(x) = a · [x² - (2 + 4 )· x + (2 · 4)]
                         f(x) = a · [x² - 6x + 8]

O gráfico também nos fornece o vértice da parábola V(3, -1), que é um
par ordenado. Vamos utilizar essa informação para calcular o valor de a.
 V(3, -1) ⇒ f(3) = -1
                         
                          f(x) = a · [x² - 6x + 8]
                         f(3) = a · [3² - 6 · 3 + 8]
                              -1 = a · [9 - 18 + 8]
                              -1 = a · [-1]
                              -1 = -a
                                a = 1

Formando a equação:
 f(x) = a · [x² - (x' + x" )· x + (x' · x")]
 f(x) = 1 · [x² - (2 + 4 )· x + (2 · 4)]
 f(x) = 1 · [x² - 6x + 8]
 f(x) = x² - 6x + 8