Question

(Mackenzie-SP) O conjunto solução da equação $9^{cosx} = \frac{1}{3}$ em (0,2π)

Answer 1

$9^{cos x} = \frac{1}{3} \\ \\ 9^{cos x} = 3^{-1} \\ \\ (3^2)^{cos x} = 3^{-1} \\ \\ 3^{2cosx} = 3^{-1} \\ \\ 2cos x=-1 \\ \\ cos x=- \frac{1}{2} \\ \\ x= \frac{2 \pi }{3} +2 \pi k \\ \\ x= \frac{4 \pi }{3} +2 \pi k \\ \\ \\ k=0 \\ \\ x= \frac{2 \pi }{3} \\ \\ x= \frac{4 \pi }{3}  S={[tex] \frac{2 \pi }{3} ; \frac{4 \pi }{3}$}

Answer 2

Sempre que estivermos lidando com uma equação exponencial, se possível, devemos buscar uma igualdade entre potências de mesma base, por conta da seguinte propriedade:

$\begin{array}{c} \center{\fbox{ \mathsf{a^b=b^c~\Longleftrightarrow~b=c~~~~(0\ \textless \ a\neq 1)} }} \end{array}$

Com isto em mente, vamos desenvolver a expressão a fim de encontrar uma igualdade entre potências de mesma base

$\mathsf{9^{cos(x)}=\frac{1}{3}}\\\\\mathsf{(3^2)^{cos(x)}=3^{-1}}\\\\\mathsf{3^{2\cdot cos(x)}=3^{-1}~\Longleftrightarrow~2\cdot cos(x)=-1}\\\\\mathsf{cos(x)=-\frac{1}{2}}$

Sabemos que cos (60) = 1/2, pois é um ângulo notável.

Como a função circular encontrada é cos (x) = -1/2, x é um ângulo do segundo ou terceiro quadrante, pois são os quadrantes que possuem cosseno negativo, ok?

Os simétricos de 60º no segundo e terceiro quadrante, respectivamente, são: 120º e 240º (vide às reduções de segundo e terceiro quadrantes). 

Portando x = 240º ou 4/3 π rad, ou então, x = 120º ou 2/3π rad. 

$\fbox{ \mathsf{S=\begin{Bmatrix}\mathsf{x\in\mathbb{R}|~x=\dfrac{4\pi}{3}~~ou~~\dfrac{2\pi}{3}}\end{Bmatrix}} }~~~~\mathsf{(resposta)}$



Trigonometria, equação exponencial, redução a uma base comum, cosseno, cos(x), reduções, simetria, simétrico.