Question

Desafio: (50 PONTOS)

${\sqrt[7]{(x+127)^6} -8 \sqrt[7]{(x-127)^6} = 7 \sqrt[7]{(x-127)^3(x+127)^3 }$

Descubra os possíveis valores de x, e prove que eles são únicos.

Answer 1

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Resolver a equação irracional:

$\mathsf{\,^7\!\!\!\!\sqrt{(x+127)^6}-8\,^7\!\!\!\!\sqrt{(x-127)^6}=7\,^7\!\!\!\!\sqrt{(x-127)^3(x+127)^3}}\\\\ \mathsf{(x+127)^{6/7}-8(x-127)^{6/7}=7\big[(x-127)^3(x+127)^3\big]^{1/7}}\\\\ \mathsf{(x+127)^{6/7}-8(x-127)^{6/7}=7(x-127)^{3/7}(x+127)^{3/7}}\\\\ \mathsf{\big[(x+127)^{3/7}\big]^2-8\big[(x-127)^{3/7}\big]^2=7(x-127)^{3/7}(x+127)^{3/7}}$


Para evitar carregar tantas potências de $\mathsf{(x\pm 127)^{3/7}},$ vamos chamar

$\left\{\begin{array}{l} \mathsf{(x+127)^{3/7}=p^3}\\ \mathsf{(x-127)^{3/7}=q^3} \end{array} \right.\qquad\Longleftrightarrow\qquad\left\{\begin{array}{l} \mathsf{(x+127)^{1/7}=p}\\ \mathsf{(x-127)^{1/7}=q} \end{array} \right.$


de modo que a equação fica

$\mathsf{(p^3)^2-8(q^3)^2=7q^3p^3}\\\\ \mathsf{(p^3)^2-7p^3q^3-8(q^3)^2=0}$


Vamos fatorar o lado esquerdo por agrupamento.

Reescreva convenientemente $\mathsf{-7p^3q^3}$ como $\mathsf{+p^3q^3-8p^3q^3:}$

$\mathsf{(p^3)^2+p^3q^3-8p^3q^3-8(q^3)^2=0}\\\\ \mathsf{p^3(p^3+q^3)-8q^3(p^3+q^3)=0}\\\\ \mathsf{(p^3+q^3)(p^3-8q^3)=0}$


O produto entre dois fatores só é zero se ao menos um deles é zero:

$\begin{array}{rcl} \mathsf{p^3+q^3=0}&~\textsf{ ou }~&\mathsf{p^3-8q^3=0}\\\\ \mathsf{p^3=-q^3}&~\textsf{ ou }~&\mathsf{p^3=8q^3}\\\\ \mathsf{p^3=(-q)^3}&~\textsf{ ou }~&\mathsf{p^3=(2q)^3}\end{array}$


Como estamos interessados apenas em soluções reais, podemos tomar as raízes cúbicas em ambos os lados:

$\begin{array}{rcl} \mathsf{\,^3\!\!\!\!\sqrt{p^3}=\,^3\!\!\!\!\sqrt{(-q)^3}}&~\textsf{ ou }~&\mathsf{\,^3\!\!\!\!\sqrt{p^3}=\,^3\!\!\!\!\sqrt{(2q)^3}}\\\\ \mathsf{p=-q}&~\textsf{ ou }~&\mathsf{p=2q} \end{array}$


Voltando à variável $\mathsf{x},$ devemos ter então

$\begin{array}{rcl} \mathsf{(x+127)^{1/7}=-(x-127)^{1/7}}&~\textsf{ ou }~&\mathsf{(x+127)^{1/7}=2(x-127)^{1/7}}\\\\ \mathsf{\big[(x+127)^{1/7}\big]^7=\big[\!-1(x-127)^{1/7}\big]^7}&~\textsf{ ou }~&\mathsf{\big[(x+127)^{1/7}\big]^7=\big[2(x-127)^{1/7}\big]^7}\\\\ \mathsf{x+127=(-1)^7\cdot (x-127)}&~\textsf{ ou }~&\mathsf{x+127=2^7\cdot (x-127)}\\\\ \mathsf{x+127=(-1)\cdot (x-127)}&~\textsf{ ou }~&\mathsf{x+127=2^7\cdot (x-127)} \end{array}$

                           $\begin{array}{rcl} \mathsf{x+127=-x+127}&~\textsf{ ou }~&\mathsf{x+127=128\cdot (x-127)}\\\\ \mathsf{x+x=127-127}&~\textsf{ ou }~&\mathsf{x+127=128x-128\cdot 127}\\\\ \mathsf{2x=0}&~\textsf{ ou }~&\mathsf{127+128\cdot 127=128x-x}\\\\ \end{array}$

                                                    $\begin{array}{rcl} \mathsf{x=0}&~\textsf{ ou }~&\mathsf{127\cdot (1+128)=127x}\\\\ \mathsf{x=0}&~\textsf{ ou }~&\mathsf{127\cdot 129=127x}\\\\ \mathsf{x=0}&~\textsf{ ou }~&\mathsf{x=\dfrac{127\cdot 129}{127}}\\\\ \mathsf{x=0}&~\textsf{ ou }~&\mathsf{x=129} \end{array}$


Atenção! Como estamos resolvendo uma equação irracional, devemos testar os valores encontrados para verificar quais são de fato soluções para a equação dada.

(Verificação segue em anexo)


Como pode ver, ambos os valores encontrados são soluções para a equação dada. Portanto,

Conjunto solução:   $\mathsf{S=\{0,\,129\}.}$


Bons estudos! :-)


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