*Não consegui resolver essa questão, empaquei nessa, alguém pode ajudar por favor!*
#(Uece 2015) Se a soma e o produto de dois números são, respectivamente, dois e
cinco, podemos afirmar corretamente que
a) os dois números são racionais.
b) os dois números são irracionais.
c) um dos números é racional e o outro é irracional.
d) os dois números são complexos não reais.
Respostas
respondido por:
109
Vamos lá.
Veja, RaulVictor, que a resolução é simples.
Tem-se que a soma e o produto de dois números é igual a 2 e 5, respectivamente.
Vamos chamar esses dois números de "x" e de "y".
Agora vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.
i) Como a soma entre esses dois números é igual a "2", então teremos:
x + y = 2
x = y - 2 . (I)
ii) Como o produto entre esses dois números é 5, então teremos que:
x*y = 5 . (II)
iii) Mas já vimos que x = y - 2, conforme a expressão (I).
Então vamos na expressão (II) acima e vamos substituir "x" por "2-y".
Vamos apenas repetir a expressão (II), que é esta:
x*y = 5 ---- substituindo-se "x" por "2-y", teremos:
(2-y)*y = 5
2y - y² = 5 ---- vamos passar todo o 1º membro para o 2º, ficando assim:
0 = 5 - 2y + y² ---- vamos ordenar, e inverter, ficando assim:
y² - 2y + 5 = 0 ----- vamos aplicar Bháskara, cuja fórmula é esta:
y = =-b+-√(Δ)]/2a
Note que sendo a função da sua questão [y²-2y+5 = 0] tem os seguintes coeficientes:
a = 1 --- (é o coeficiente de y²)
b = -2 --- (é o coeficiente de y)
c = 5 --- (é o coeficiente do termo independente)
Δ = b² - 4ac = (-2)² - 4*1*5 = 4 - 20 = - 16 <---Este é o valor do delta (Δ).
Agora vamos na fórmula de Bháskara e, nela, faremos as devidas substituições:
y = [-(-2+-√(-16)]/2 ----- veja que √(-16) = √(16)*√(-1). Assim:
y = [2 +- √(16)*√(-1)]/2 ---- note que √(16)= 4; e √(-1) = i. Assim:
y = [2+-4i]/2 ----- daqui você já pode concluir que:
y' = (2-4i)/2 = 2/2 - 4i/2 = 1 - 2i
e
y'' = (2+4i)/2 = 2/2+4i/2 = 1 + 2i.
Assim, para encontrar o valor de "x" basta irmos na expressão (I), que é esta:
x = 2 - y ----- se substituirmos o "y" por y', teremos:
x' = 2 - (1-2i) ---> x' = 2 - 1 + 2i ---> 1 + 2i.
E se substituirmos o "y" por y'', teremos:
x'' = 2 - (1-2i) ---> x'' = 2 - 1 - 2i ---> x'' = 1 - 2i.
Assim, as duas raízes serão estas duas:
1-2i e 1+2i
Pronto. A resposta são as raízes que demos aí em cima.
Logo, ao escolhermos a opção correta, chegamos à conclusão de que a única correta é a opção "d" que informa:
d) os dois números são complexos não reais. Esta é a resposta.
É isso aí.
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir.
Veja, RaulVictor, que a resolução é simples.
Tem-se que a soma e o produto de dois números é igual a 2 e 5, respectivamente.
Vamos chamar esses dois números de "x" e de "y".
Agora vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.
i) Como a soma entre esses dois números é igual a "2", então teremos:
x + y = 2
x = y - 2 . (I)
ii) Como o produto entre esses dois números é 5, então teremos que:
x*y = 5 . (II)
iii) Mas já vimos que x = y - 2, conforme a expressão (I).
Então vamos na expressão (II) acima e vamos substituir "x" por "2-y".
Vamos apenas repetir a expressão (II), que é esta:
x*y = 5 ---- substituindo-se "x" por "2-y", teremos:
(2-y)*y = 5
2y - y² = 5 ---- vamos passar todo o 1º membro para o 2º, ficando assim:
0 = 5 - 2y + y² ---- vamos ordenar, e inverter, ficando assim:
y² - 2y + 5 = 0 ----- vamos aplicar Bháskara, cuja fórmula é esta:
y = =-b+-√(Δ)]/2a
Note que sendo a função da sua questão [y²-2y+5 = 0] tem os seguintes coeficientes:
a = 1 --- (é o coeficiente de y²)
b = -2 --- (é o coeficiente de y)
c = 5 --- (é o coeficiente do termo independente)
Δ = b² - 4ac = (-2)² - 4*1*5 = 4 - 20 = - 16 <---Este é o valor do delta (Δ).
Agora vamos na fórmula de Bháskara e, nela, faremos as devidas substituições:
y = [-(-2+-√(-16)]/2 ----- veja que √(-16) = √(16)*√(-1). Assim:
y = [2 +- √(16)*√(-1)]/2 ---- note que √(16)= 4; e √(-1) = i. Assim:
y = [2+-4i]/2 ----- daqui você já pode concluir que:
y' = (2-4i)/2 = 2/2 - 4i/2 = 1 - 2i
e
y'' = (2+4i)/2 = 2/2+4i/2 = 1 + 2i.
Assim, para encontrar o valor de "x" basta irmos na expressão (I), que é esta:
x = 2 - y ----- se substituirmos o "y" por y', teremos:
x' = 2 - (1-2i) ---> x' = 2 - 1 + 2i ---> 1 + 2i.
E se substituirmos o "y" por y'', teremos:
x'' = 2 - (1-2i) ---> x'' = 2 - 1 - 2i ---> x'' = 1 - 2i.
Assim, as duas raízes serão estas duas:
1-2i e 1+2i
Pronto. A resposta são as raízes que demos aí em cima.
Logo, ao escolhermos a opção correta, chegamos à conclusão de que a única correta é a opção "d" que informa:
d) os dois números são complexos não reais. Esta é a resposta.
É isso aí.
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir.
RaullVictor:
Entendi sim. Obrigado.
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