Question

Os valores reais de x que satisfazem a inequação
(x²-5x-14) . ( -2x+10) <0 é:
a) {x pertence aos R | x< -2 ou 5
 b) {x pertence aos R | x<-5 ou 2
 c) {x pertence aos R | x<5 ou x>7}
d) {x pertence aos R | x<-2 ou x>7}
e) { x pertence aos R | -27}

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Marysilva, que a resolução é simples.

Pede-se os valores de "x" que satisfazem a inequação abaixo:

(x² - 5x - 14)*(-2x+10) < 0 .

Veja que temos aqui uma inequação-produto, cujo resultado terá que ser menor do que zero (ou seja, terá que ser negativo).
Temos f(x) = x²-5x-14 e temos g(x) = -2x+10.
Faremos o seguinte: encontraremos as raízes de cada uma das equações e depois, em função de suas raízes, faremos o estudo de variação de sinais de cada uma e, finalmente, diremos qual é o conjunto-solução da inequação originalmente dada [(x²-5x-14)*(-2x+10) < 0].
Assim, teremos:

f(x) = x²-5x-14 ---> raízes: x²-5x-14 = 0 ---> x' = -2; x'' = 7
g(x) = - 2x+10 ---> raízes: -2x+10 = 0 --> -2x = -10 --> 2x = 10 --> x = 10/2 -> x = 5  .

Agora vamos fazer o estudo de sinais de cada uma das equações dadas, em função de suas raízes. Assim, teremos;

a) f(x) = x² - 5x - 14 ...+ + + + + + + (-2)- - - - - - - - - - - - - - - (7)+ + + + + + + + +
b) g(x) = -2x+10.... ..+ + + + + + + + + + + + + + (5) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
c) f(x) * g(x) .............+ + + + + + + +(-2)- - - - - - -(5)+ + + + +(7)- - - - - - - - - - - -

Assim, como queremos que o produto de f(x) vezes g(x) seja negativo (menor do que zero), então só nos vai interessar onde tiver sinal de menos no item "c" acima, que nos fornece o resultado do produto de f(x) por g(x).
Assim, o intervalo válido para o conjunto-solução será este:

- 2 < x < 5 , ou x > 7.

Se você quiser, o conjunto-solução poderá ser dado da seguinte forma, o que é a mesma coisa:

S = {x ∈ R | -2 < x < 5 , ou x > 7}.

Ou ainda, também se quiser, o conjunto-solução poderá ser dado do seguinte modo, o que dá no mesmo:

S = (-2; 5) ∪ (7; +∞).

Entre as opções que você forneceu não há nenhuma que "bata" com a nossa resposta. Por isso, pedimos que você reveja as opções dadas, pois estamos seguros de que a nossa resposta está correta, se a inequação-produto for a que está escrita na sua questão.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.

Answer 2

( x² - 5 x - 14 ) ( - 2 x + 10 ) < 0

Sendo F ( x ) = x² - 5 x - 14 e G ( x ) = - 2 x + 10

• Vamos encontrar, primeiramente, as raízes de F ( x ) = x² - 5 x - 14

a = 1
b = - 5
c = -14

Δ = ( - 5 )² - 4 * 1 * ( - 14 )
Δ = 25 + 56
Δ = 81

x = 5 +- 9 / 2      =====> x' = 14 / 2 = 7   ====== > x'' = - 4 / 2 = - 2

Veja o gráfico no anexo.

• Agora veremos o G ( x ) = - 2 x +10

- 2 x + 10 < 0
- 2 x < - 10 =========> Multiplicando ( - 1 ) inverte o sinal >
2 x > 10
x > 5

Veja o gráfico no anexo.

O outro gráfico é o estudo do sinal.

S = { x ∈ IR I - 2 < x < 5 ou x > 7 }