Question

Alguem pode por favor me ajudar nessa 3 simplificações ? ou pelo menos as duas primeiras. Essa é uma parte da matéria onde eu tenho bastante dificuldade, apesar de ter visto toda a teoria necessária. PF preciso das respostas bem detalhadas, para total entendimento. pois há questões mais complexas para serem feitas

$a) x^{2} + x - 6 / x^{3} - x^{2} - 9x +18 b) x^{3} - 2 x^{2} - x + 2/ x^{2} - 1 c)4x^{2} - 4x + 1/ 2 x^{2} + 3x -2$

Answer 1

Para todos você tem que fatorar para depois simplificar.
a) $\frac{x^2+x-6}{x^3-2x^2-9x+18}$
 
$\\x=\frac{-1\pm\sqrt{1^2-4\cdot1\cdot(-6)}}{2\cdot1}=\frac{-1\pm\sqrt{1+24}}{2}=\frac{-1\pm\sqrt{25}}{2}=\frac{-1\pm5}{2}\\ \\x'=\frac{-1+5}{2}=\frac{4}{2}=2\\ x''=\frac{-1-5}{2}=\frac{-6}{2}=-3$

$x^3-2x^2-9x+18=x^2\cdot(x-2)-9x\cdot(x-2)=(x-2)\cdot(x^2-9)\\ \\x^3-2x^2-9x+18=(x-2)\cdot(x+3)\cdot(x-3)$
$\frac{x^2+x-6}{x^3-2x^2-9x+18}= \frac{(x+3)\cdot(x-2)}{(x-2)\cdot(x+3)\cdot(x-3)}= \frac{1}{x-3}$
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b) $\frac{x^3-2x^2-x+2}{x^2-1}= \frac{x^2\cdot(x-2)-1\cdot(x+2)}{x^2-1}= \frac{(x^2-1)\cdot(x-2)}{x^2-1}=x-2$
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Uma forma para fatorar é calculando as raízes.
c) $\frac{4x^2-4x+1}{2x^2+3x-2}$

$\\x=\frac{-(-4)\pm\sqrt{(-4)^2-4\cdot4\cdot1}}{2\cdot4}=\frac{4\pm\sqrt{16-16}}{6}=\frac{4\pm\sqrt{0}}{8}=\frac{4\pm0}{8}\\\\ x'=\frac{4+0}{8}=\frac{4^{:4}}{8^{:4}}=\frac{1}{2}\ \ \ e \ \ x''=\frac{4-0}{8}=\frac{4^{:4}}{8^{:4}}=\frac{1}{2}$

$\\x=\frac{-3\pm\sqrt{3^2-4\cdot2\cdot(-2)}}{2\cdot2}=\frac{-3\pm\sqrt{9+16}}{4}=\frac{-3\pm\sqrt{25}}{4}=\frac{-3\pm5}{4}\\\\ x'=\frac{-3+5}{4}=\frac{2^{:2}}{4^{:2}}=\frac{1}{2}\ \ \ e \ \ x''=\frac{-3-5}{4}=\frac{-8}{4}=-2$

Então, fatorando:
$4x^2-4x+1=(x-\frac{1}{2})^2=(x-\frac{1}{2})\cdot(x-\frac{1}{2})\\ \\2x^2+3x-2=(x-\frac{1}{2})\cdot(x+2)$

Agora é só simplificar:
$\frac{4x^2-4x+1}{2x^2+3x-2} = \frac{(x-\frac{1}{2})\cdot(x-\frac{1}{2})}{(x-\frac{1}{2})\cdot(x+2)} = \frac{(x-\frac{1}{2})}{(x+2)} =\frac{x-\frac{1}{2}}{x+2}$