Question

boa tarde, alguém sabe me responder qual o domínio da função real
f(X)= 1
-----------------------
√-3x²+4√3x-3x

Answer 1

Vamos lá.

Veja, JMMO,como você anexou a foto da questão, agora ficou bem mais fácil dar a resposta.
Pede-se o domínio da função abaixo:

f(x) = 1/√[-3x² + 4√(3)x - 3] ---- note que poderemos reescrever assim, uma vez que o "-3" que está em último lugar não está dentro do segundo radical, mas apenas do primeiro radical.Assim, ficaremos assim:

f(x) = 1/√[-3x² - 3 + 4√(3)x] ---- por sua vez, como o "x'' não está dentro do 2º radical, então poderemos reescrever novamente a expressão da seguinte forma (passando o "x" para junto do "4"):

f(x) = 1/√[-3x² - 3 + 4x√(3)]

Agora veja que: só há radicandos de radicais de índice par se eles forem (os radicandos) maiores ou iguais a zero. No entanto, como o radicando da sua questão está no denominador e considerando que denominador nenhum poderá ser zero, então vamos impor que o radicando que está no denominador terá que ser apenas MAIOR do que zero (e nunca maior ou igual). Assim, vamos impor que:

√[-3x² - 3 + 4x√(3)] > 0 ------ para eliminar o primeiro radical, vamos elevar ao quadrado ambos os membros da desigualdade. Assim:

{√[-3x² - 3 + 4x√(3)]}² > 0² ---- desenvolvendo, ficaremos com:

-3x² - 3 + 4x√(3) > 0 ----- vamos passar "-3x² - 3" para o 2º membro, com o que ficaremos assim:

4x√(3) > 3x² + 3 ----- para eliminar, finalmente, o segundo radical, vamos elevar, novamente ao quadrado, ambos os membros da desigualdade, com o que ficaremos assim:

[4x√(3)]² > (3x² + 3)² ----- desenvolvendo, ficaremos com:
16x²*3 > 9x⁴ + 18x² + 9
48x² > 9x⁴ + 18x² + 9 ---- vamos passar o 1º membro para o 2º, ficando:
0 > 9x⁴ + 18x² + 9 - 48x² ---- reduzindo os termos semelhantes, teremos;
0 > 9x⁴ - 30x² + 9 ---- Agora note: o que temos aqui é a mesma coisa que (basta inverter, colocando o "0" para o lado direito):

9x⁴ - 30x² + 9 < 0 ---- para facilitar, vamos dividir ambos os membros por "3", com o que ficaremos da seguinte forma;

3x⁴ - 10x² + 3 < 0 ----- note que x⁴ = (x²)². Assim:
3(x²)² - 10x² + 3 < 0 ----- vamos fazer x² = y. Com isso, ficaremos assim:
3(y)² - 10y + 3 < 0 ---- ou apenas:
3y² - 10y + 3 < 0

Agora veja: vamos encontrar as raízes de "3y²-10y+3 = 0. Se você aplicar Bháskara, vai encontrar as seguintes raízes:

y' =  1/3
y'' = 3

Mas veja que fizemos x² = y. Assim, teremos;

i) para y = 1/3, teremos:

x² = 1/3
x = +- √(1/3) , ou seja:

x' = - √(1/3) = -√(1)/√(3) ---- racionalizando, ficaremos com: -√(3)/3
x'' = √(1/3)  = √(1)/√(3) ---- racionalizando, ficaremos com: √(3)/3

ii) para y = 3, teremos:

x² = 3
x = +-√(3) ---- daqui você conclui que:

x''' = - √(3)
x'''' = √(3).

Assim, como você viu, as 4 raízes da equação biquadrada são estas, colocando-as em ordem crescente:

x' = - √(3)
x'' = -√(3)/3
x''' = √(3)/3
x'''' = √(3)

Agora note: quando se trata de uma equação biquadrada com 4 raízes reais (como é o caso da equação da sua questão), e que seja MENOR do que zero,  como é também o caso da sua questão, então SEMPRE teremos isto : x' < x < x'', ou: x''' < x < x''''. No caso da sua questão faremos a mesma coisa, ou seja, faremos isto:

- √(3) < x < -√(3)/3 , ou: √(3)/3 < x < √(3) ---- Esta é a resposta.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.