Question

Calcule a área da região triangular delimitada pelos pontos A, B e C, conforme a figura abaixo

Answer 1

∴ Sejam as coordenadas :

$A( -3 \ , \ 0 ) \\ B( x_B \ , \ 9 ) \\ C( 9 \ , \ 0 ) \\ P( 0 \ , \ \frac{27}{2})$

∴ A reta $r \ : \ y \ = \ mx + n$ ( equação na forma reduzida )  contém os pontos P , B , C . Então começaremos definindo a equação dessa reta utilizando os pontos C e P :

$m = \frac{y_C-y_P}{x_C-x_P}$
$m = \frac{ 0 - \frac{27}{2} }{9}$
$m = - \frac{27}{2} . ( \frac{1}{9} )$
$m = - \frac{3}{2}$

∴ $n$ é o coeficiente linear da reta , ou seja , o seu valor é igual a ordenada do ponto ( no caso ponto P ) que pertence a reta r e pertence também ao semi eixo $\underset{+Oy}{\rightarrow}$ . Então  $n = \frac{27}{2}$.

∴ A equação da reta r :

$y \ = \ - \frac{3}{2}x + \frac{27}{2}$

∴ Como dito anteriormente o ponto B pertence a reta r , logo para descobrir as coordenadas de B para substituí-las na equação :

$y_B = - \frac{3}{2}x_B + \frac{27}{2}$
$9 = - \frac{3}{2}.x + \frac{27}{2}$
$x_B \ = \ 3$

∴ Temos que $B( 3 \ , \ 9 )$

∴ A área de qualquer figura convexa pode ser calculada por :

$S = \frac{|Det|}{2}$

→ Sendo S a área da figura e Det o determinante relativo aos vértices da figura .

∴ Esse determinante pode ser expresso por :

$\begin{vmatrix} x_A & y_A & 1 \\ x_B & y_B & 1 \\ x_C & y_B & 1 \end{vmatrix}$

→ Como eu defini as coordenadas dos vértices já , então basta substituir seus valores no determinante

$\begin{vmatrix} -3 & 0 & 1 \\ \ \ 3 & 9 & 1 \\ \ \ 9 & 0 & 1 \end{vmatrix}$

→ Agora no anexo ( 1 ) eu irei mostrar a maneira como se calcula um determinante e no anexo ( 2 ) eu calculei o determinante dessa questão . 

→ Continuando :

$Det = 9.0.1 - 3.9.1 + 3.0.1 - 1.0.3 - 1.9.9 - 1.0.(-3) \\ Det = - 27 -81 \\ Det = -108$

∴ Agora basta substituir na fórmula : 

$S \ = \ \frac{| -108 |}{2}$
$S = \frac{108}{2} \\ \\ S= 54 \ u.a \ ( \ unidade \ de \ \acute{a}rea )$       

Answer 2

PRIMEIRA FORMA

Note que podemos encontrar a medida da base AC do triângulo facilmente:

$\mathtt{b}=\mathtt{d}(A,C)=|9-(-3)|=|9+3|=|12|=12~\mathtt{uc}$

onde $\mathtt{d}$ é a função distância entre dois pontos.

Agora, será que a altura do triângulo é $\mathtt{h}=9$ (coordenada y do ponto B)? Sim, pois a altura (em relação à base AC) é um segmento que parte do ponto B e encontra AC num ângulo de 90º, logo terá a mesma medida que o segmento no eixo y que vai da origem ao ponto (0,9)

Portanto, pela forma usual de cálculo de área:

$S=\dfrac{\mathtt{b}\times\mathtt{h}}{2}\\\\\\S=\dfrac{12\times9}{2}\\\\\\S=6\times9\\\\\\\boxed{\boxed{S=54~\mathtt{unidades~de~\'area}}}$
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SEGUNDA FORMA

Usaremos o seguinte método: A área de um triângulo com vértices $A(x_{1},y_{1}),\,B(x_{2},y_{2})$ e $C(x_{3},y_{3})$ é dada por

$S=\dfrac{1}{2}|\det\,X|$

onde X é a matriz abaixo:

$X=\left[\begin{array}{ccc}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{array}\right]$
___

Para usar esse método, precisamos dos vértices do triângulo. Temos dois completos: $A(-3,0),\,C(9,0)$, e precisamos da coordenada x do ponto B. Podemos encontrá-la por semelhança de triângulos (veja o anexo)

Por semelhança de triângulos, temos

$\dfrac{\mathtt{medida}(laranja)}{\mathtt{medida}(verde)}=\dfrac{\mathtt{medida}(azul)}{\mathtt{medida}(amarelo)}\\\\\\\dfrac{x}{9}=\dfrac{\big(\frac{27}{2}\big)-9}{\big(\frac{27}{2}\big)}\\\\\\\dfrac{x}{9}=\dfrac{\big(\frac{27-18}{2}\big)}{\big(\frac{27}{2}\big)}\\\\\\\dfrac{x}{9}=\dfrac{\big(\frac{9}{2}\big)}{\big(\frac{27}{2}\big)}\\\\\\x=9\cdot\dfrac{9}{27}\\\\\\x=9\cdot\dfrac{1}{3}\\\\\\\boxed{\boxed{x=3}}$

Logo, os vértices do triângulo são: $A(-3,0),\,B(3,9),\,C(9,0)$

Agora, precisamos do determinante da matriz

$X=\left[\begin{array}{ccc}-3&0&1\\3&9&1\\9&0&1\end{array}\right]$

Usando o Teorema de Laplace (o de escolher uma coluna/linha, de preferência a com maior quantidade de zeros, e utiliza seus elementos e os determinantes das matrizes obtidas ao excluir a linha e a coluna de cada elemento da linha), temos

$\det X=\ell_{12}\left|\begin{array}{cc}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{array}\right|+\ell_{22}\left|\begin{array}{cc}a_{11}&a_{13}\\a_{31}&a_{33}\end{array}\right|+\ell_{32}\left|\begin{array}{cc}a_{11}&a_{13}\\a_{21}&a_{23}\end{array}\right|$

onde $\ell_{ij}=(-1)^{i+j}\cdot a_{ij}$

Logo,

$\det X=\\\\=(-1)^{1+2}\cdot0\left|\begin{array}{cc}3&1\\9&1\end{array}\right|+(-1)^{2+2}\cdot9\left|\begin{array}{cc}-3&1\\9&1\end{array}\right|+(-1)^{2+3}\cdot0\left|\begin{array}{cc}-3&1\\3&1\end{array}\right|\\\\=(-1)^{4}\cdot9\cdot\big[(-3)\cdot1-1\cdot9\big]\\\\=1\cdot9\cdot(-3-9)\\\\=9\cdot(-12)\\\\=-108$

Finalmente:

$S=\dfrac{1}{2}|\det X|\\\\\\S=\dfrac{1}{2}\cdot|-108|\\\\\\S=\dfrac{1}{2}\cdot108\\\\\\\boxed{\boxed{S=54~\mathtt{unidades~de~\'area}}}$