Question

A figura abaixo mostra dois círculos de mesmos centro.Escreva a lei matemática que da área A(x) da coroa circular e determine x para que essa área fique entre 28π e 64π

Answer 1

Raio círculo maior 8 e raio círculo menor 8 - x
Ac = πr²

A(x) = π.8² - π(8 - x)²
A(x) = 64π - π(64 - 16x + x²)
A(x) = 64π - 64π + 16πx -πx²
A(x) = 16πx - πx²

OBS: A(x) deve estar entre , por isso o sinal ( < ) e não ≤

28π < 16πx - πx² < 64π   ( Dividindo por π)

28 < 16x - x² < 64

16x - x² > 28 ( I )   e   16x - x² < 64
Resolvendo I
-x² + 16x - 28 > 0 => x² -16x + 28 < 0
Raízes
x² - 16x + 28 = 0
Δ = (-16)² - 4.1.28 => D = 256 - 112 = 144
x = (16 - 12)/2 = 5 ou x = ( 16 + 12)/2 = 14

-----------------------2--------------------14--------------------
              +                       -                         +

S(I) = [2, 14[

Resolvendo II
-x² + 16x - 64 < 0 => x² - 16x + 64 > 0
Raízes
x² - 16x + 64 = 0
Δ = (-16)² - 4.1 .64 => Δ = 256 - 256 = 0
x = 16/2 = 8 (raíz dupla)

--------------------------------8---------------------------------
                     +                                +
S(II) = { x ∈ R/ x ≠ 8}

S = S(I) ∩ S(II)
  
 -------------------o.................o-----------
                        2                 14
..................................o......................
                                  8
                        o........o..........o
                        2        8         14      
 S = { x ∈ R/ 2< x < 14 e x ≠ 8 }                         

Answer 2

Vamos lá.

Veja, JMMO, que chamaremos de R o raio do círculo maior e de "r" o raio do círculo menor (que será o raio da coroa circular).
E note também que  o raio do círculo maior (R) é igual a 8. Assim, o raio (r) do círculo menor será (8-x).
Assim, teremos que a área "A(x)" será dado por:

A(x) = 8²π - (8-x)²*π ------ desenvolvendo, teremos isto:
A(x) = 64π - (64 - 16x + x²)*π ----- efetuando-se a multiplicação indicada do que está entre parênteses (multiplicando-se, portanto, por  "π"), teremos isto:

A(x) = 64π - (64π - 16xπ + x²π) ---- retirando-se os parênteses, teremos:
A(x) = 64π - 64π + 16xπ - x²π ---- reduzindo os termos semelhantes, teremos:
A(x) = 0 + 16xπ - x²π --- ou apenas:
A(x) = -x²π + 16xπ <--- Esta é a expressão que dá a área A(x).

Agora vamos ao que está sendo pedido, que é isto: "determine x para que essa área fique entre 28π e 64π". Então vamos fazer isto:

28π ≤ A(x) ≤ 64π ----- substituindo-se A(x) por seu valor, teremos:
28π ≤ -x²π + 16xπ ≤ 64π ---- note: se dividirmos cada membro da desigualdade por "π", iremos ficar apenas com:

28 ≤ -x² + 16x ≤ 64 ---- vamos multiplicar cada membro da desigualdade por "-1", com o que ficaremos (note: quando se multiplica uma desigualdade por "-1" o seu sentido muda: o que era ≤ passa para ≥ e vice-versa. Assim, multiplicando-se tudo por "-1", iremos ficar da seguinte forma:

- 28 ≥ x²-16x ≥ - 64

Agora note que ficamos com duas desigualdades assim constituídas:

i) A primeira desigualdade será:

- 28 ≥ x² - 16x ----- passando-se "-28" para o 2º membro da desigualdade, ficaremos assim:

0 ≥ x² - 16x + 28 ---- note que se passarmos o "0" para o lado direito, isto ficará assim (o que dá na mesma coisa):

x² - 16x + 28 ≤ 0 ----- se você aplicar Bháskara para encontrar as raízes da equação x²-16x+28 = 0 irá encontrar as seguintes raízes:

x' = 2
x'' = 14.

Agora vamos estudar a variação de sinais da equação acima em função de suas raízes. Assim:

x² - 16x + 28 ≤ 0 ...+ + + + + + + (2)- - - - - - - - - - - - - (14)+ + + + + + + + +

Como queremos que a equação dada seja MENOR ou IGUAL a zero, então só nos vai interessar onde tiver sinal de menos ou seja igual a zero no gráfico acima. Assim, teremos que o intervalo para esta inequação será este:

2 ≤ x ≤ 14         

ii) A segunda desigualdade será esta:

x²-16x ≥ - 64 ----- passando "-64" para o 1º membro da desigualdade, teremos:

x² - 16x + 64 ≥ 0 ----- agora vamos encontrar as raízes da equação x²-16x+64=0 para podermos desenvolver o estudo de sinais. Assim, se você aplicar Bháskara, encontrará as seguintes raízes:

x' = x'' = 8.

Agora vamos efetuar o estudo de sinais desta função, que será este:

x² - 16x + 64 ≥ 0 ... + + + + + + + + + + (8)+ + + + + + + + + + + +

Assim, como você vê todo o intervalo será positivo ou será igual a zero, pois a função será positiva para x < 8 ou x > 8 e será igual a zero para x = 8.

iii) Vamos,então ver qual é a intersecção entre as duas desigualdades. A resposta será essa intersecção.  Vamos colocar o que vale para a primeira e a segunda desigualdades com o símbolo ////////////. E vamos marcar a intersecção entre elas com o símbolo |||||||||.
Vamos ver:

x²-16x+28 ≤ 0 ..______________ (2)/ / / / / / / / / / / / / /  (14)___________
x²-16x+64 ≥ 0..... / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / (8)/ / / / / / / / / / /  / / / / / / / / / /
Intersecção....._______________(2)| | | | | | | | | | | (8)| | | | |(14)___________

Agora note que a intersecção ficou ente "2" e "14", pois, embora tenha o "8" entre eles, mas vale para x = 8 também, pois o que queremos é que "x" esteja no intervalo, valendo o intervalo fechado entre "2" e "14". Assim, "x' poderá assumir qualquer valor ente "2" e "14" (intervalo fechado) para que A(x) seja maior ou igual a "28π" e menor ou igual a "64π". Logo, o intervalo que dará a resposta para "x" será este:

2 ≤ x ≤ 14 -------- Esta será a resposta. O "x" ficará neste intervalo (fechado) para que A(x) esteja no intervalo pedido [28π ≤ A(x) ≤ 64π]

Se você quiser, também poderá apresentar o conjunto-solução da seguinte forma, o que é a mesma coisa:

S = {x ∈ R | 2 ≤ x ≤ 14} .

Ou ainda, também se quiser, o conjunto-solução poderá ser dado do seguinte modo, o que dá no mesmo:

S = [2; 14].

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.