Question

determine as coordenadas do ponto médio do segmento em que uma das extremidades é o ponto A (-7,6) e a outra é o centro da circunferência de equação x2+y2-10x+4y+25=0

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Rafaely, que a resolução é simples.
Pede-se o ponto médio M(x; y) do segmento em que uma das extremidades é o ponto A(-7; 6) e a outra extremidade é o centro da circunferência de equação:

x² + y² - 10x + 4y + 25 = 0

Antes de mais nada, vamos formar os quadrados a partir da equação da circunferência acima. Vamos ordenar, ficando assim:

x² - 10x + y² + 4y + 25 = 0 ----- agora formaremos os quadrados, tendo o cuidado de subtrair aqueles valores que serão acrescidos por força da formação dos quadrados. Assim:

(x-5)² - 25 + (y+2)² - 4 + 25 = 0 ---- ordenando, ficaremos assim:
(x-5)² + (y+2)² - 25 - 4 + 25 = 0 ---- reduzindo os termos semelhantes, teremos:
(x-5)² + (y+2)² - 4 = 0 ---- passando "4" para o 2º membro, teremos:
(x-5)² + (y+2)² = 4 ---- note que o "4' poderá ser substituído por 2². Assim:
(x-5)² + (y+2)² = 2²        . (I)

Agora note uma coisa importante: a equação reduzida de uma circunferência que tenha centro em C(x₀; y₀) e raio = r , tem a seguinte conformação:

(x-x₀)² + (y-y₀)² = r²      . (II)

Da comparação das expressões (I) e (II) acima, você já concluirá que a circunferência da sua questão tem centro em C(5; -2) e tem raio = 2.

Agora, como já vimos qual é o centro da circunferência [C(5; -2)], então vamos encontrar o ponto médio M(x; y), considerando que o outro extremo é o ponto A que tem as seguintes coordenadas: A(-7; 6).

Assim, teremos:

i) Encontrando a abscissa "x" do ponto médio:

x = (5+(-7))/2
x = (5-7)/2
x = -2/2
x = - 1 <--- Esta será a abscissa do ponto médio M(x; y)

ii) Encontrando a ordenada "y" do ponto médio:

y = (-2+6)/2
y = (4)/2
y = 2 <--- Esta é a ordenada do ponto médio M(x; y).

iii) Assim, o ponto médio M(x; y) pedido será o ponto:

M(-1; 2) <--- Esta é a resposta.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.