Demonstre que o produto de três inteiros consecutivos é múltiplo de 6.
Respostas
→ 1º - Provar que um dos números é par
→ 2º - Provar que um dos números é divisível por 3
Obs.: Se um número é par e divisível por 3, então também é divisível por 6.
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Sejam os números a, a + 1 e a + 2, números naturais e consecutivos, com a ∈ Z.
→ 1º - Provar que um dos números é par
Entre três números consecutivos um deles é, obrigatoriamente, é par.
Se a é par (a = 2k)
a = 2k par
a + 1 = 2k + 1 ímpar
a + 2 = 2a + 2 = 2 · (a + 1) par
Se a é ímpar (a = 2k + 1)
a = 2k + 1 ímpar
a + 1 = (2k + 1) + 1 = 2 k + 1 + 1 = 2 k + 2 = 2 · (k + 1) par
a + 2 = 2 · (2k + 1) + 2 = 4k + 2 + 2 = 4k + 4 = 4 · (a + 1) par
Então, em três números consecutivos teremos um número par ou dois números pares
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→ 2º - Provar que um dos números é divisível por 3
Ao dividir a por 3 teremos três possibilidades para o resto dessa divisão:
a = 3k + 0 (resto 0)
a = 3k + 1 (resto 1)
a = 3k + 2 (resto 2)
Se a = 3k + 0, então nossos números serão:
a = 3k é divisível por 3
a + 1 = 3k + 1 não é divisível por 3
a + 2 = 3k + 2 não é divisível por 3
Se a = 3k + 1, então nossos números serão:
a = 3k + 1 não é divisível por 3
a + 1 = (3k + 1) + 1 = 3k + 1 + 1 = 3k + 2 não é divisível por 3
a + 2 = (3k + 1) + 2 = 3k + 1 + 2 = 3k + 3 = 3 · (k + 1) é divisível por 3
Se a = 3k + 2, então nossos números serão:
a = 3k + 2 não é divisível por 3
a + 1 = (3k + 2) + 1 = 3k + 2 + 1 = 3k + 3 = 3 · (k + 1) é divisível por 3
a + 2 = (3k + 2) + 2 = 3k + 2 + 2 = 3k + 4 não é divisível por 3
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O produto é P, então:
P = a · (a + 1) · (a + 2)
Como um dos três é par e um dos três é divisível por 3, então o produto dos três também será divisível por 6.
O produto de três inteiros consecutivos é múltiplo de 6, pois todos eles possuem 2 e 3 como fatores.
Esta questão está relacionada com múltiplos. Os múltiplos de um número são todos os valores que, quando divididos por esse número, tem como resultado um outro valor inteiro. Dessa forma, os múltiplos estão relacionados com as operações de multiplicação e divisão.
Nesse caso, perceba que, ao delimitar um conjunto com três números consecutivos, sempre vamos ter pelo menos um par (ou seja, divisível por 2) e um múltiplo de 3.
Por isso, ao se efetuar o produto entre os três números, ocorre o produto entre os fatores 2 e 3, que é equivalente a 6. Portanto, todo o produto de três inteiros consecutivos é múltiplo de 6.
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