Question

Como resolver log(3x-1) na base √2+ logx na base√2=2

Answer 1

$log_{\sqrt{2}} \ (3x-1)+log_{\sqrt{2}} \ x=2\\ \\log_{\sqrt{2}} \ [(3x-1) \cdot x]=2\\ \\ \ [(3x-1) \cdot x]=(\sqrt{2})^2\\ \\3x^2-x=2\\ \\3x^2-x-2=0\\ \\ \\ \\x=\frac{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot3\cdot(-2)}}{2\cdot3}=\frac{1\pm\sqrt{1+24}}{6}=\frac{1\pm\sqrt{25}}{6}=\frac{1\pm5}{6}\\ \\x'=\frac{1+5}{6}=\frac{6}{6}=1\\ \\x''=\frac{1-5}{6}=\frac{-4^{:2}}{6_{:2}}=-\frac{2}{3}$

Condição de Existência (CE)
3x - 1 > 0 e x > 0
3x - 1 > 0                              x > 0
3x > 0 + 1
3x > 1
x > 1/3

                                  1/3
 I ------------------------------o>>>>>>>>>>>>>>
               1/3
II --------------o>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>

                                     1/3
I ∩ II  ------------------------o>>>>>>>>>>>>>>
Logo a CE diz que x > 1/3, logo somente x' satisfaz a condição.
S = {1}

Answer 2

Propriedade, logaritmo do produto:

$\fbox{ \mathsf{\ell og_a(b)+\ell og_a(c)=\ell og_a(b\cdot c)~~~~(0\ \textless \ a\neq1)} }$

Portanto

$\mathsf{\ell og_{\sqrt{2}}(3x-1)+\ell og_{\sqrt{2}}(x)=2}\\\\\mathsf{\ell og_{\sqrt{2}}((3x-1)\cdot x)=2}\\\\\mathsf{\ell og_{\sqrt{2}}(3x^2-x)=2}$

Utilize a definição de logaritmo

$\fbox{ \mathsf{y=\ell og_a(b)~\Longleftrightarrow~a^y=b~~~~(0\ \textless \ a\neq1)} }$

Sendo assim

$\mathsf{\ell og_{\sqrt{2}}(3x^2-x)=2~\Longleftrightarrow~(\sqrt{2})^2=3x^2-x}\\\\\mathsf{3x^2-x=2}\\\\\mathsf{3x^2-x-2=0}\\\\\mathsf{\Delta=(-1)^2-4\cdot3\cdot (-2)}\\\\\mathsf{\Delta=25~~~~(\Delta\ \textgreater \ 0~\Rightarrow~duas~ra\'izes~reais~e~distintas)}}\\\\\\\mathsf{x_1=\dfrac{1-5}{6}~\rightarrow~x_1=-\dfrac{4}{6}~\rightarrow~x_1=-\dfrac{2}{3}}\\\\\\\mathsf{x_2=\dfrac{1+5}{6}~\rightarrow~x_2=\dfrac{6}{6}~\rightarrow~x_2=1}$

Analisemos a condição de existência dos logaritmos para sabermos se as soluções são verdadeiras

Condição: O logaritmando deve ser maior que zero

$\mathsf{I)~~\ell og_{\sqrt{2}}(x)~\Rightarrow~x\ \textgreater \ 0}\\\\\mathsf{II)~\ell og_{\sqrt{2}}(3x-1)~\Rightarrow~3x-1\ \textgreater \ 0~\Rightarrow~x\ \textgreater \ \frac{1}{3}}\\\\\mathsf{I~\cap~II=\begin{Bmatrix}\mathsf{x\ \textgreater \ \frac{1}{3}}\end{Bmatrix}}$

Logo a única solução que satisfaz a condição é x = 1. 

Conjunto solução (verdade): 

S = {x ∈ lR : x = 1}

Lê-se: x pertence aos Reais tal que x é igual a 1.

Obs: A equação quadrática eu resolvi por Báscara, ok? Caso tenha ficado com alguma dúvida.