Question

a distância entre os pontos de intersecção do eixo y com a circunferência tangente ao eixo x e centrada em 2 e -3

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Rafaely, que a resolução é simples, embora apenas um pouco trabalhosa.
Pede-se a distância entre os pontos de intersecção do eixo "y" com a circunferência que é tangente ao eixo "x" e está centrada em C(2; -3), ou seja, o centro dessa circunferência é o ponto C, cujas coordenadas são: C(2; -3).

Agora vamos passo a passo pra você entender bem.

i) Note: se a circunferência é tangente ao eixo dos "x" e tem centro em C(2; -3), isto significa que a circunferência está abaixo do eixo dos "x", tangenciando-o, e corta o eixo dos "y" em duas partes.
Veja ainda: se a circunferência tangencia o eixo dos "x", então um dos pontos, no eixo dos "x' por onde a circunferência o tangencia, será o ponto A(2; 0).

ii) Se encontrarmos a distância entre esse ponto [A(2; 0)] ao centro da circunferência, que é o ponto C(2; -3), estaremos encontrando o raio da circunferência. Então vamos encontrar essa distância (d). Assim, encontrando a distância do ponto A(2; 0) ao ponto C(2; -3), teremos:

d² = (2-2)² + (0-(-3))²
d² = (0)² + (0+3)²
d² = (0)² + (3)²
d² = 0 + 9
d² = 9
d = +-√(9) ----- como √(9) = 3, teremos:
d = +- 3 ----- mas como o raio nunca tem medida negativa, então tomaremos apenas a medida positiva e igual a:

d = 3 <--- Esta é a medida do raio da circunferência da sua questão.

iii) Agora veja: se a circunferência corta o eixo "y" em duas partes (que são os pontos de intersecção da circunferência com o eixo dos "y"), então a distância desses dois pontos ao centro da circunferência SEMPRE será igual ao raio, que, como já vimos, é igual a "3".

Assim, a distância entre esses dois pontos e o centro da circunferência será igual a:

 3 <--- Esta é a resposta.

iv) Bem, a resposta já está dada. Mas apenas por mera curiosidade, vamos encontrar qual é a equação dessa circunferência (já que temos o centro e o raio). Depois, ao fazer x = 0 ficaremos com uma equação do 2º grau em "y" e suas raízes serão os pontos de intersecção dela (a circunferência) com o eixo dos "y".

Note que uma circunferência que tenha centro em C(x₀; y₀) e raio = r, tem a seguinte equação reduzida:

(x-x₀)² + (y-y₀)² = r²        . (I).

Portanto, tendo a expressão (I) acima como parâmetro, então a equação da circunferência que tem centro em C(2; -3) e raio = 3, terá a seguinte equação reduzida:

(x-2)² + (y-(-3))² = 3²
(x-2)² + (y+3)² = 9 ------- agora vamos fazer x = 0 para encontrar quais são os pontos de intersecção da circunferência com o eixo dos "y". Assim, teremos:

(0-2)² + (y+3)² = 9
(-2)² + (y+3)² = 9 ----- desenvolvendo, teremos:
4 + y²+6y+9 = 9 ----- reduzindo os termos semelhantes, teremos:
y² + 6y + 13 = 9 ---- passando "9" para o 1º membro, teremos:
y² + 6y + 13-9 = 0
y² + 6y + 4 = 0 ------ se você aplicar Bháskara, vai encontrar as seguintes raízes:

y' = -3 - √5
y'' = -3 + √5

Os dois pontos acima são os pontos de intersecção da circunferência com o eixo dos "y", ou seja, os pontos serão estes, que chamaremos de pontos D e E, cujas coordenadas são estas (lembre-se que fizemos x = 0):

D(0; -3-√5)
E(0; -3+√5)

Agora veja que a distância entre os pontos D e E acima ao centro da circunferência, que é o ponto C(2; -3), deverá ser (como já afirmamos antes) sempre igual ao raio (r = 3). Veja:

iv.a) Vamos calcular a distância (d)  do ponto C(2; -3) ao ponto D(0; -3-√5). Assim:

d² = (0-2)² + (-3-√5 - (-3))²
d² = (-2)² + (-3-√5 + 3)²
d² = (-2)² + (-√5)² ----- desenvolvendo os quadrados, teremos;
d² = 4 + 5
d² = 9
d = +-√9 ----- como √9 = 3, teremos:
d = +-3 ----mas como distância não é negativa, então tomaremos apenas a raiz positiva e igual a:

d = 3 <--- Olha aí como é verdade que a distância é igual ao raio (r = 3, como já vimos antes).

iv.b) Distância (d) do centro C(2; -3) ao ponto E(0; -3+√5):

d² = (0-2)² + (-3+√5 - (-3))²
d² = (-2)² + (-3+√5 + 3)²
d² = (-2)² + (√5)² ---- desenvolvendo os quadrados, teremos:
d² = 4 + 5
d² = 9
d = +-√9 -------- como já vimos que √9 = 3, então teremos:
d = +-3 ---- tomando-se apenas a raiz positiva, teremos;
d = 3 <--- Olha aí novamente como a distância é igual ao raio.

Bem, como você viu, está confirmado que a distância entre os pontos de intersecção da circunferência com o eixo dos "y" sempre será igual ao raio da circunferência, que, também como você já viu, é igual a "3".

Apenas pra você ter uma ideia melhor, vamos colocar a equação da nossa circunferência [(x-2)² + (y+3)² = 9] no endereço abaixo e veja como o gráfico da dela (da circunferência da sua questão)  é exatamente como dissemos acima (como aqui no Brainly eu não sei como construir gráficos, então é por isso que estamos colocando no endereço abaixo). Veja lá:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=(x-2)%C2%B2+%2B+(y%2B3)%C2%B2+%3D+9

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.