Question

Na posição relativa entre um ponto e uma circunferencia, o ponto pode ser interno, externo ou pertencente à circunferencia. nessas condições, analise as afirmações abaixo em relação à circunferencia x² + y² - 6x - 2y + 6=0.
I. O ponto A(2,1) pertence a circunferencia.
II. O ponto B(6,2) é externo a circunferencia.
III. O ponto C(0,2) é interno a circunferencia.
IV. O ponto D(5,1) pertence a circunferencia.
Conclui-se que:
(A) I é falso
(B) II é falso
(C) I e II estao corretos
(D) I, II e III estao corretos
(E) I e III sao falsos.

Preciso dessa resposta urgeeeente!

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Vaskraul, que a resolução é simples, apenas um pouco trabalhosa.
Pede-se para determinar a posição relativa de cada ponto dado em relação à circunferência cuja equação é esta:

x² + y² - 6x - 2y + 6 = 0 ---- Veja: para encontrarmos qual o centro e o raio desta circunferência, vamos ter que formar os quadrados. Para isso, vamos ordenar, ficando assim:

x² - 6x + y² - 2y + 6 = 0 ---- agora vamos formar os quadrados, tendo o cuidado de subtrair aqueles números que serão acrescidos por força da formação dos quadrados. Assim, teremos;

(x-3)² - 9 + (y-1)² - 1 + 6 = 0 ---- ordenando, teremos:
(x-3)² + (y-1)² - 9 - 1 + 6 = 0 ---- reduzindo os termos semelhantes, teremos:
(x-3)² + (y-1)² - 4 = 0 ---- passando "-4" para o 2º membro, teremos:
(x-3)² + (y-1)² = 4 -------- note que 4 = 2² . Assim, ficaremos com:
(x-3)² + (y-1)² = 2²    <--- Esta é a equação reduzida da sua circunferência.

Antes note que uma circunferência que tenha centro em G(x₀; y₀) e raio = r, tem a seguinte equação reduzida:

(x-x₀)² + (y-y₀)² = r²      . (I)

Agora veja: faça a comparação da equação reduzida da circunferência da sua questão com a equação reduzida da circunferência vista na expressão (I) acima. Dessa comparação, você já deverá ter concluído que a circunferência da sua questão tem centro em G(3; 1) e raio = 2, correto?

Bem, então como já temos o centro G(3; 1) e a medida do raio da circunferência da sua questão (r = 2), vamos, agora encontrar a distância (d) de cada ponto dado ao centro da circunferência. Vamos ver.

I. O ponto A(2; 1) pertence à circunferência.
Vamos ver: para isso, encontraremos a distância (d) do ponto A(2; 1) ao centro da circunferência G(3; 1).

d² = (3-2)² + (1-1)²
d² = (1)² + (0)²
d² = 1 + 0
d² = 1
d = +-√(1) ----- como √(1) = 1, teremos:
d = +- 1 ---- mas como uma distância não é negativa, então tomaremos apenas a raiz positiva e igual a:

d = 1 <--- Veja: como a distância do ponto A(2; 1) ao centro da circunferência G(3; 1) deu menor que o raio (r = 2), então é porque o ponto A é interno à circunferência (ou seja, está dentro da da circunferência). Logo, a afirmação do item "I" é FALSA.

II. O ponto B(6; 2) é externo à circunferência.
Vamos ver. Para isso, encontraremos a distância (d) do ponto B(6; 2) ao centro da circunferência G(3; 1). Assim:

d² = (3-6)² + (1-2)²
d² = (-3)² + (-1)²
d² = 9 + 1
d² = 10
d = +-√(10) ---- tomando-se apenas a raiz positiva, teremos;
d = √(10) ----- (veja que √(10) = 3,16 (aproximadamente)).
Logo, como se vê a distância é maior que o raio da circunferência (que é r = 2), o que denota ser o ponto B externo à circunferência.
Assim, a afirmação do item "II" é VERDADEIRA.

III.O ponto C(0; 2) é interno a circunferência.
Vamos ver. Para isso, encontraremos a distância "d" do ponto acima ao centro da circunferência G(3; 1). Assim:

d² = (3-0)² + (1-2)²
d² = (3)² + (-1)²
d² = 9 + 1
d² = 10
d = +-√(10) ---- tomando-se apenas a raiz positiva, teremos;
d = √(10) ---- o que dá mais ou menos 3,16.

Logo, como a distância é maior do que o raio da circunferência (r = 2), então é porque o ponto C é externo à circunferência.
Logo, a afirmação de que o ponto C seria interno à circunferência é FALSA.


IV. O ponto D(5; 1) pertence a circunferência.
Vamos ver. Para isso, calcularemos a distância (d) do ponto D(5; 1) ao centro da circunferência G(3; 1):

d² = (3-5)² + (1-1)²
d² = (-2)² + (0)²
d² = 4 + 0
d² = 4
d = +-√(4) ---- como √(4) = 2, teremos:
d = +-2 ------ tomando-se apenas a raiz positiva, teremos;
d = 2 <--- Veja: como deu exatamente igual ao raio da circunferência (r = 2), então é porque o ponto D pertence à circunferência.
Logo, a afirmação de que o ponto D pertence à circunferência é VERDADEIRA.

Como você viu, são FALSAS as sentenças dos itens "I" e "III", e são VERDADEIRAS as sentenças dos itens "II" e "IV".

Assim, a opção correta será a opção "E", que informa:

E) I e III são falsos <--- Esta é a resposta.


É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.