Question

Para aproveitar o fim de semana passado, o Sr. Elias e a esposa foram para uma casa de Turismo Rural na
Serra da Estrela. Havia lá um grande tanque de rega com 5 torneiras iguais que serviam para o encher de
água. Depois de algumas observações e experiências, o Sr. Elias verificou que:
 Com as 5 torneiras totalmente abertas e a saída de rega também aberta, o tanque demora 2 horas a
encher;
 Com 3 torneiras totalmente abertas e a saída também a funcionar, eram precisas 3 horas e 45
minutos para o tanque ficar cheio.
Será que só com uma torneira a funcionar e a saída também a funcionar o tanque chega a encher? Se sim, em
quanto tempo?

Answer 1

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As 5 torneiras são iguais.

•   Vazão de cada torneira:    $\mathsf{p;}$

•   Vazão da saída da rega:    $\mathsf{q.}$


Seja $\mathsf{V}$ o volume do tanque. Poderíamos assumir qualquer valor para este volume apenas para simplificar os cálculos. O valor do volume é irrelevante aqui, conforme você poderá notar ao desenvolver desta resposta.


Em qualquer caso, sempre temos que

•   vazão líquida  =  vazão de entrada  –  vazão de saída;

•   vazão líquida  ×  tempo que leva para encher o tanque  =  volume do tanque.


O tempo será medido em horas.

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•   1ª situação:   Com as 5 torneiras abertas e a saída da rega também aberta, o tanque demora 2 horas para encher.

$\mathsf{(5p-q)\cdot 2=V}\\\\ \mathsf{10p-2q=V\qquad\quad(i)}$


•   2ª situação:   Com 3 torneiras abertas e a saída da rega também aberta, o tanque demora 3 horas e 45 minutos para encher.

3 h  45 min = (3 + 45/60) h = (3 + 0,75) h = 3,75 h

$\mathsf{(3p-q)\cdot (3,\!75)=V}\\\\ \mathsf{11,\!25p-3,\!75q=V\qquad\quad(ii)}$


Resolvendo o sistema formado pelas equações $\mathsf{(i)}$ e $\mathsf{(ii)}:$

$\left\{\! \begin{array}{rcrcrc} \mathsf{10,\!00p}&\!\!-\!\!&\mathsf{2,\!00q}&\!\!=\!\!&\mathsf{V}&\quad\mathsf{(i)}\\ \mathsf{11,\!25p}&\!\!-\!\!&\mathsf{3,\!75q}&\!\!=\!\!&\mathsf{V}&\quad\mathsf{(ii)} \end{array} \right.$


Multiplicando a 1ª equação por 3,75, e a 2ª equação por (– 2), obtemos

$\left\{\! \begin{array}{rcrcrc} \mathsf{37,\!50p}&\!\!-\!\!&\mathsf{7,\!50q}&\!\!=\!\!&\mathsf{3,\!75V}&\quad\mathsf{(iii)}\\ \mathsf{-22,\!50p}&\!\!+\!\!&\mathsf{7,\!50q}&\!\!=\!\!&\mathsf{-2,\!00V}&\quad\mathsf{(iv)} \end{array} \right.$


Somando as equações $\mathsf{(iii)}$ e $\mathsf{(iv)}$ membro a membro,

$\mathsf{37,\!50p-22,\!50p=3,\!75V-2,\!00V}\\\\ \mathsf{15,\!00p=1,\!75V}\quad\longrightarrow\quad\mathsf{\cdot\,4}$

$\mathsf{60p=7V}\\\\ \mathsf{p=\dfrac{7}{60}\cdot V}\qquad\quad\checkmark$


Encontrando a vazão da saída:

$\mathsf{10p-2q=V}\\\\ \mathsf{2q=10p-V}\\\\ \mathsf{q=\dfrac{1}{2}\cdot (10p-V)}\\\\\\ \mathsf{q=\dfrac{1}{2}\cdot \left(10\cdot \dfrac{7}{60}\cdot V-V\right)}\\\\\\ \mathsf{q=\dfrac{1}{2}\cdot \left(\dfrac{70V-60V}{60}\right)}$

$\mathsf{q=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{10V}{60}}\\\\\\ \mathsf{q=\dfrac{5}{60}\cdot V}\qquad\quad\checkmark$

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Deseja-se saber se existe possibilidade de o tanque ser cheio com apenas uma torneira aberta e com a saída também aberta.

Em outras palavras, deseja-se encontrar um intervalo de tempo $\mathsf{t}$ (se existir), de modo que

$\mathsf{(p-q)\cdot t=V}\\\\\\ \mathsf{t=\dfrac{V}{p-q}}\\\\\\ \mathsf{t=\dfrac{V}{\frac{7}{60}\cdot V-\frac{5}{60}\cdot V}}\\\\\\ \mathsf{t=\dfrac{\diagup\!\!\!\!\! V}{\diagup\!\!\!\!\! V\cdot \left(\frac{7}{60}-\frac{5}{60} \right )}}$


(veja que este tempo independe do volume do tanque)

$\mathsf{t=\dfrac{1}{\frac{7}{60}-\frac{5}{60}}}\\\\\\ \mathsf{t=\dfrac{1}{~\frac{2}{60}~}}\\\\\\ \mathsf{t=\dfrac{60}{2}}\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\mathsf{t=30~horas} \end{array}}\quad\longleftarrow\quad\textsf{esta \'e a resposta.}$


Somente com uma torneira e com a saída a funcionar, o tanque demoraria 30 horas para encher.

De fato, isso é possível pois a vazão de entrada é maior que a vazão de saída, de modo que foi possível encontrar um $\mathsf{t}$ positivo.


Bons estudos! :-)