Question

Quais os valores de "a" que fazen com que A(0,a), B(a,2), C(1,2) sejam vértice de um mesmo triângulo ?

Answer 1

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Para que os pontos

$\mathsf{A(0,\,a),~~B(a,\,2),~~C(1,\,2)}$

pertençam a um triângulo, basta que eles não sejam colineares.


Então o seguinte determinante deve ser diferente de zero:

$\begin{vmatrix} \mathsf{x_A}&\mathsf{y_A}&\mathsf{1}\\ \mathsf{x_B}&\mathsf{y_B}&\mathsf{1}\\ \mathsf{x_C}&\mathsf{y_C}&\mathsf{1} \end{vmatrix}\ne \mathsf{0}\\\\\\ \begin{vmatrix} \mathsf{0}&\mathsf{a}&\mathsf{1}\\ \mathsf{a}&\mathsf{2}&\mathsf{1}\\ \mathsf{1}&\mathsf{2}&\mathsf{1} \end{vmatrix}\ne \mathsf{0}$


Desenvolvendo o determinante pela Regra de Sarrus, obtemos

$\begin{array}{rl} \mathsf{0\cdot 2\cdot 1+a\cdot 1\cdot 1+1\cdot a\cdot 2}&\\ \mathsf{-1\cdot 2\cdot 1-2\cdot 1\cdot 0-1\cdot a\cdot a}&\ne\mathsf{0} \end{array}\\\\\\ \mathsf{0+a+2a-2-0-a^2\ne 0}\\\\ \mathsf{-a^2+3a-2\ne 0}$

$\mathsf{-a^2+a+2a-2\ne 0}\\\\ \mathsf{-a(a-1)+2(a-1)\ne 0}\\\\ \mathsf{(-a+1)(a-2)\ne 0}\\\\ \begin{array}{rcl} \mathsf{-a+1\ne 0}&~\textsf{ e }~&\mathsf{a-2\ne 0}\\\\ \mathsf{a\ne 1}&~\textsf{ e }~&\mathsf{a\ne 2}\quad\longleftarrow\quad\textsf{esta \'e a resposta.} \end{array}$


Bons estudos! :-)


Tags:   pontos não alinhados condição alinhamento pontos triângulo geometria analítica