Question

Alguém poderia me explicar? "Radical Duplo"

$\sqrt{5- \sqrt{21} } = Minha..Resposta = \sqrt{\frac{7}{2}} - \sqrt{\frac{3}{2} }$

$A..resposta..do..livro= \frac{ \sqrt{14}- \sqrt{6} }{2}$

Answer 1

Alguém poderia me explicar? "Radical Duplo"
  ______
√5 - √21

A = 5
B = 21

FÓRMULA
  _____        A - C           A + C
√A - √B = √----------  = √---------
                      2                 2
         _____
C = √A² - B

C = √5² - 21
C = √ 25 - 21
C = √4
C = 2

assim  voltando na FÓRMULA

  _____        A + C           A - C
√A - √B = √----------  -√---------
                      2                 2
   
                        5 +2             5 - 2
√5 - √21 = √------------- - √---------- 
                         2                   2

                         7             3 
√5 - √ 21 = √---------- - √--------
                         2            2


     7           3
√----- - √----------
    2            2

√7       √3
---- - ---------  SOMA com fração faz mmc (√2)
√2       √2

√7 - √3
-------------
     √2     ( elimina a RAIZ do denominador)

(√7- √3)√2
------------------
    √2√2

√7√2 - √3√2
-----------------
      √2√2

√7x2  - √3x2
-----------------
    √2x2

√14 - √6
-------------
     √4

√14- √6
------------- ( resposta)
     2

Answer 2

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_______________


Tem uma fórmula bem útil para simplificar radicais duplos. Segue o enunciado.

Dados dois números reais  $\mathsf{a}$  e  $\mathsf{b,}$  tais que $\mathsf{0\le b\le a,}$  valem as seguintes identidades:

•   $\begin{array}{c}\mathsf{\sqrt{a+b}=\sqrt{\dfrac{a+\sqrt{a^2-b^2}}{2}}+\sqrt{\dfrac{a-\sqrt{a^2-b^2}}{2}}\qquad\quad(i)} \end{array}$


•   $\begin{array}{c}\mathsf{\sqrt{a-b}=\sqrt{\dfrac{a+\sqrt{a^2-b^2}}{2}}-\sqrt{\dfrac{a-\sqrt{a^2-b^2}}{2}}\qquad\quad(ii)} \end{array}$


Note que se o resultado de $\mathsf{a^2-b^2}$ for um quadrado perfeito, aquelas raízes que aparecem nas fórmulas são simplificadas diretamente.

________


Eliminar os radicais aninhados da expressão

$\begin{array}{rcl}\mathsf{E=\sqrt{5-\sqrt{21}}}&\quad\longrightarrow\quad&\left\{\! \begin{array}{l}\mathsf{a=5}\\\mathsf{b=\sqrt{21}} \end{array} \right.\end{array}$


Aqui, temos

$\mathsf{a^2-b^2}\\\\ =\mathsf{5^2-(\sqrt{21})^2}\\\\ =\mathsf{25-21}\\\\ =\mathsf{4}\\\\ =\mathsf{2^2}\\\\\\ \therefore~~\mathsf{a^2-b^2=2^2}\quad\longleftarrow\quad\textsf{(\'e quadrado perfeito)}$


Substituindo na fórmula, obtemos

$\begin{array}{l} \mathsf{\sqrt{5-\sqrt{21}}=\sqrt{\dfrac{5+\sqrt{2^2}}{2}}-\sqrt{\dfrac{5-\sqrt{2^2}}{2}}}\\\\ \mathsf{\sqrt{5-\sqrt{21}}=\sqrt{\dfrac{5+2}{2}}-\sqrt{\dfrac{5-2}{2}}}\\\\ \mathsf{\sqrt{5-\sqrt{21}}=\sqrt{\dfrac{7}{2}}-\sqrt{\dfrac{3}{2}}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \mathsf{\sqrt{5-\sqrt{21}}=\dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}}-\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}}\\\\ \mathsf{\sqrt{5-\sqrt{21}}=\dfrac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}}} \end{array}$


Para racionalizar o denominador, multiplique e divida por $\mathsf{\sqrt{2}}:$

$\begin{array}{l} \mathsf{\sqrt{5-\sqrt{21}}=\dfrac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\cdot \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}}\\\\ \mathsf{\sqrt{5-\sqrt{21}}=\dfrac{(\sqrt{7}-\sqrt{3})\cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}}\\\\ \mathsf{\sqrt{5-\sqrt{21}}=\dfrac{\sqrt{7}\cdot \sqrt{2}-\sqrt{3}\cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}}\\\\ \mathsf{\sqrt{5-\sqrt{21}}=\dfrac{\sqrt{7\cdot 2}-\sqrt{3\cdot 2}}{(\sqrt{2})^2}} \end{array}$

$\therefore~~\boxed{\begin{array}{c}\mathsf{\sqrt{5-\sqrt{21}}=\dfrac{\sqrt{14}-\sqrt{6}}{2}} \end{array}}\qquad\quad\checkmark$


Bons estudos! :-)


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