Question

(MACKENZIE) Se logy5 = 2x, 0 < y ≠ 1, então (y^3x+y^−3x)/(y^x+y^−x) é igual a:
a) 121/25
b)21/125
c)1/25
d)21/5
e)121/5

Answer 1

(MACKENZIE) Se $log_y\ 5=2x$, 0 < y ≠ 1, então $\frac{y^{3x}+y^{-3x}}{y^x+y^{-x}}$ é igual a: 
a) 121/25
b) 21/125
c) 1/25
d) 21/5     <<<< Correta
e) 121/5

1º - Determinando o valor de y:
$log_y\ 5=2x \ \Longrightarrow \ 5=y^{2x} \ \Longrightarrow y^{2x}=5$

2º - Simplificando a fração algébrica:
------------------------------------------------------------------------------------------------
Numerador:
$y^{3x}+y^{-3x}=y^{3x}+\frac{1}{y^{3x}}=\frac{y^{6x}}{y^{3x}}+\frac{1}{y^{3x}}=\frac{y^{6x}+1}{y^{3x}}$

Denominador:
$y^{x}+y^{-x}=y^{x}+\frac{1}{y^{x}}=\frac{y^{2x}}{y^{x}}+\frac{1}{y^{x}}=\frac{y^{2x}+1}{y^{x}}$

Fazendo a simplificação:
$\frac{y^{3x}+y^{-3x}}{y^x+y^{-x}}= \frac{\frac{y^{6x}+1}{y^{3x}}}{\frac{y^{2x}+1}{y^{x}}} =\frac{y^{6x}+1}{y^{3x}}\cdot \frac{y^{x}}{y^{2x}+1}=\frac{y^{6x}+1}{y^{2x}\cdot(y^{2x}+1)}=\frac{(y^{2x})^3+1}{y^{2x}\cdot(y^{2x}+1)}$
-------------------------------------------------------------------------------------------------
3º - Substituindo o valor de y²ˣ na fração algébrica:
$\frac{(y^{2x})^3+1}{y^{2x}\cdot(y^{2x}+1)}=\frac{5^3+1}{5\cdot(5+1)}=\frac{125+1}{5\cdot 6}=\frac{126^:6}{30_:6}=\frac{21}{5}$

Obs.:
Tentei fazer o mais detalhadamente possível. Você pode fazer de forma mais rápida se fizer tudo simultaneamente.