Question

Seja A uma matriz inversível de ordem n.

Answer 1

∴ Seja $A$ uma matriz quadrada qualquer e $A^-^1$ a sua inversa. Pelo estudo de matrizes temos que : 

$A \ . \ A^-^1 \ = \ I$

∴ Onde $I$ é a matriz identidade de mesma ordem que a matrizes $A$ e $A^-^1$

$det \ ( \ A \ . \ A^-^1 \ ) \ = \ det ( \ I \ )$

∴ Como a matriz identidade $( \ I \ )$ é uma matriz triangular , então seu determinante é o produto de todos os elementos da diagonal principal. Então como temos que todos os elementos da diagonal principal são 1 , temos que :

$det \ ( \ A \ . \ A^-^1 \ ) \ = \ 1$

→ Através do Teorema de Binet temos a seguinte relação : $det \ ( A.B) \ = \ det (A) \ . \ det(B)$ . Aplicando essa propriedade na equação acima , temos que :

$det ( A ) \ . \ det(A^-^1) \ = \ 1$
$det (A^-^1) \ = \ \frac{1}{det(A)}$