Question

A questão é de equação irracional e ele dá esse ''macete'' de multiplicar os denominadores entre si e depois multiplicar cada denominador pelo numerador do outro lado. Mas qual a comprovação desse ''macete''?

Answer 1

1º - MMC entre $x+\sqrt{2-x^2} \ e \ x-\sqrt{2-x^2}$
Observe que o mmc entre essa expressões algébricas será o produto entre elas, logo:
$\Big( x+\sqrt{2-x^2}\Big) \cdot \Big (x-\sqrt{2-x^2}\Big) =x^2-\Big (\sqrt{2-x^2}\Big) ^2=x^2-(2-x^2)\\ \\\Big( x+\sqrt{2-x^2}\Big) \cdot \Big (x-\sqrt{2-x^2}\Big) =x^2-2+x^2=x^2+x^2-2=2x^2-2$
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2º  Vamos resolver a equação:
$\frac{2}{x+\sqrt{2-x^2}}+ \frac{2}{x-\sqrt{2-x^2}}=x\\ \\ \frac{2\cdot\big(x-\sqrt{2-x^2}\big)}{\big(x+\sqrt{2-x^2}\big)\cdot\big(x-\sqrt{2-x^2}\big)}+ \frac{2\cdot\big(x+\sqrt{2-x^2}\big)}{\big(x+\sqrt{2-x^2}\big)\cdot\big(x-\sqrt{2-x^2}\big)}}=x\\ \\ \\\frac{2x-2\sqrt{2-x^2}}{2x^2-2} +\frac{2x+2\sqrt{2-x^2}}{2x^2-2}=x \\ \\\frac{2x-2\sqrt{2-x^2}+2x+2\sqrt{2-x^2}}{2x^2-2} =x \\ \\\frac{2x+2x-2\sqrt{2-x^2}+2\sqrt{2-x^2}}{2x^2-2} =x \\ \\\frac{4x}{2x^2-2} =x\\ \\4x=2x^3-2x\\ 2x^3-2x-4x=0\\ 2x^3-6x=0$

Observe que $\pm\sqrt{3}$ não é solução para a equação, pois a raiz daria um número negativo (faça prova real) a unica solução que serve é x = 0, logo S = {0}