Question

Se a diferença entre os quadrados das raízes da equação: 3x²-7x+c=0 é 35/9, então o valor de c é:
R= -3/2, -1 (gostaria dos cálculos, se possível) 

Answer 1

3x² - 7x + c = 0
Sejam m e n as raízes
m + n = -b/a => m + n = -(-7)/3 => m+ n = 7/3 ( I )
mn = c/a => mn = c/3  ( II )
m² - n² = 35/9 (fatorando, vem)

(m + n)(m - n) = 35/9  ( III )
Subst. ( I ) em ( III )
7/3 (m - n) = 35/9 => m - n = 35/9 : 7/3 => m - n = 35/9 . 3/7
m - n = 105/63 (simplif. por 21)
m - n = 5/3 Mas, m + n = 7/3
Resolvendo o sistema, temos:

m - n = 5/3
m + n = 7/3
------------------Somando as duas equações
2m = 5/3 + 7/3
2m = 12/3

2m = 4 => m = 2

2 + n = 7/3 => n = 7/3 - 2 

n = 1/3

c/3 = mn =>  c/3 = 1/3 . 2 

c/3 = 2/3 => c = 2

Tirando a prova
3x² - 7x + 2 = 0
Δ = (-7)² - 4.3.2
Δ = 49 - 24 = 25
x = (7-5)/6 = 1/3 
ou 
x = (7 + 5)/6 = 2
 De fato: 2² -1/3)² = 4 - 1/9 = (36 - 1) /9 = 35/9 ( confere)

Resposta c = 2

Answer 2

Se a diferença entre os quadrados das raízes da equação: 3x³-7x+c=0 é 35/9, então o valor de c é:

x' e x" = RAIZES  

DIFERENÇA
(x')² - (x")² = 35/9

equação do 2º grau
ax² + bx + c = 0
3x² - 7x + c = 0
a = 3
b = - 7
c = c


S = Soma  (das raizes) =(x' + x") 
       - b
S = ----------
        a
 
         -(-7)
S = ---------
           3

         + 7
S = --------
          3



P= Produto
         c
P = -------
       a

       c
P = -----
       3
assim

S = (x' + x") = 7/3
P = (x')(x") = c/3
          
 DIFERENÇA dos quadrados  ==> a² - b² = (a - b)(a + b)
(x')² - (x")² = 35/9              
(x' - x")(x' + x") = 35/9       ( lembrando que (x' + x" = 7/3))
(x' - x")(7/3) = 35/9

             
(x' - x")(7/3) = 35/9

                     35/9
(x' - x") = ---------------  mesmo que
                     7/3

                  35      7
(x' - x") = ------ :--------  ( divisão de FRAÇÃO)
                   9       3     copia o 1º e inverte o 2º multiplicando

                 35           3
(x' - x") = --------x--------
                  9           7
 
                  35x3
(x' - x") = ------------
                    9x7


                    105
(x' - x") = ------------  ( divide TUDO por 21)
                    63

                   5
 (x' - x") = ------- 
                   3

se            
x' + x" = 7/3
x' - x" = 5/3

   x' + x" = 7/3
   x' -  x" = 5/3  SOMA
---------------------------
 2x'    0    = (7 + 5)/3

2x' = (7+ 5)/3
2x' = 12/3
2x' = 4

x' = 4/2
x' = 2        ( achar o valor de (x"))

x' + x" = 7/3
2 + x" = 7/3

x" = 7/3 - 2
   
           7
x" = --------- - 2
           3
   
          7 - 6
x" = -----------
            3
   
          1
x" = ------
          3

ACHAR o (c)

Produto = (x')(x")

                  c
Produto = -------- 
                  a
           
                  c
(x')(x") = ---------
                 a
  
       1         c
(2)(----) = ----------
      3           3

2(1)       c
------- = ------
  3         3

2          c
----- = -------- ( só cruzar)
3         3

3(c) = 2(3)
3c = 6
c = 6/3
c = 2   ( resposta)