Question

Frações Parciais:
Escreva as frações abaixo em termos de suas parciais (assim como se faz quando vai integrar uma razão).
a)
$\displaystyle \frac{x-6}{x^3-x^2+4x-4}$
OBS: para facilitar eu já fiz até aqui:
$\displaystyle \frac{x-6}{x^3-x^2+4x-4}= \frac{x-6}{(x-1)(x^2+4)}=\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+4}$

b)
$\displaystyle \frac{x^3+3x^2+x+19}{x^4+10x^2+9}$

Answer 1

a)

$\dfrac{x-6}{x^{3}-x^{2}+4x-4}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{Bx+C}{x^{2}+4}\\\\\\\dfrac{x-6}{x^{3}-x^{2}+4x-4}=\dfrac{A(x^{2}+4)}{(x-1)(x^{2}+4)}+\dfrac{(Bx+C)(x-1)}{(x-1)(x^{2}+4)}\\\\\\\dfrac{x-6}{x^{3}-x^{2}+4x-4}=\dfrac{A(x^{2}+4)+(Bx+C)(x-1)}{(x-1)(x^{2}+4)}\\\\\\\dfrac{x-6}{x^{3}-x^{2}+4x-4}=\dfrac{Ax^{2}+4A+Bx^{2}-Bx+Cx-C}{x^{3}-x^{2}+4x-4}\\\\\\\dfrac{x-6}{x^{3}-x^{2}+4x-4}=\dfrac{(A+B)x^{2}+(-B+C)x+(4A-C)}{x^{3}-x^{2}+4x-4}$

Teremos a igualdade quando os numeradores forem iguais (pois os denominadores já são). Portanto:

$(A+B)x^{2}+(-B+C)x+(4A-C)=x-6\\\\(A+B)x^{2}+(-B+C)x+(4A-C)=0x^{2}+x-6$

Dois polinômios são iguais se seus coeficientes (correspondentes à cada potência de $x$) forem iguais, logo, temos que ter

$\begin{cases}A+B=0~~~~~~\mathtt{(i)}\\-B+C=1~~~~\mathtt{(ii)}\\4A-C=-6~~~\mathtt{(iii)}\end{cases}$

De $\mathtt{(i)}$, temos $A+B=0~\Leftrightarrow~\boxed{\boxed{B=-A}}$

Substituindo em $\mathtt{(ii)}$:

$-B+C=1~~\Leftrightarrow~~-(-A)+C=1~~\Leftrightarrow~~\boxed{\boxed{A+C=1}}$

Agora, temos o sistema (em A e C):

$\begin{cases}A+C=1\\4A-C=-6\end{cases}$

Somando as equações:

$A+4A+C-C=1-6\\\\5A=-5\\\\\boxed{\boxed{A=-1}}$

Achando C:

$A+C=1~~\Leftrightarrow~~-1+C=1~~\Leftrightarrow~~\boxed{\boxed{C=2}}$

Achando B:

$B=-A~~\Leftrightarrow~~B=-(-1)~~\Leftrightarrow~~\boxed{\boxed{B=1}}$

Portanto,

$\dfrac{x-6}{x^{3}-x^{2}+4x-4}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{Bx+C}{x^{2}+4}~~\Longleftrightarrow\\\\\\\dfrac{x-6}{x^{3}-x^{2}+4x-4}=\dfrac{-1}{x-1}+\dfrac{1x+2}{x^{2}+4}~~\Longleftrightarrow\\\\\\\boxed{\boxed{\dfrac{x-6}{x^{3}-x^{2}+4x-4}=\dfrac{-1}{x-1}+\dfrac{x+2}{x^{2}+4}}}$
_______________________________

b)

$\dfrac{x^{3}+3x^{2}+x+19}{x^{4}+10x^{2}+9}$

Precisamos fatorar o denominador. Para isso, vamos encontrar suas raízes:

$x^{4}+10x^{2}+9=0~~\Leftrightarrow~~(x^{2})^{2}+10(x^{2})+9=0~~\Leftrightarrow~~y^{2}+10y+9=0$

onde $y=x^{2}$

Podemos achar as raízes da equação com variável $y$ facilmente por soma e produto:

$\mathsf{S}=-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{10}{1}=-10\\\\\\\mathsf{P}=\dfrac{c}{a}=\dfrac{9}{1}=9$

Os números que quando somados resultam -10 e quando multiplicados resultam em 9 são $y=-1$ e $y=-9$

Então, temos os seguintes casos:

$y=-1~~\Leftrightarrow~~x^{2}=-1~~\Leftrightarrow~~\boxed{\boxed{x^{2}+1=0~~~(ou~x=\pm i)}}\\\\y=-9~~\Leftrightarrow~~x^{2}=-9~~\Leftrightarrow~~\boxed{\boxed{x^{2}+9=0~~(ou~x=\pm3i)}}$

Logo, podemos representar o denominador por

$x^{4}+10x^{2}+9=(x-i)(x+i)(x-3i)(x+3i)=(x^{2}+1)(x^{2}+9)$

usaremos a forma da esquerda, pois não envolve complexos
______________

Procuramos constantes $A,\,B,\,C,\,D$ tais que

$\dfrac{x^{3}+3x^{2}+x+19}{x^{4}+10x^{2}+9}=\dfrac{x^{3}+3x^{2}+x+19}{(x^{2}+1)(x^{2}+9)}=\dfrac{Ax+B}{x^{2}+1}+\dfrac{Cx+D}{x^{2}+9}$

Igualando os denominadores para somar:

$\dfrac{x^{3}+3x^{2}+x+19}{(x^{2}+1)(x^{2}+9)}=\dfrac{Ax+B}{x^{2}+1}+\dfrac{Cx+D}{x^{2}+9}\\\\\\\dfrac{x^{3}+3x^{2}+x+19}{(x^{2}+1)(x^{2}+9)}=\dfrac{(Ax+B)(x^{2}+9)}{(x^{2}+1)(x^{2}+9)}+\dfrac{(Cx+D)(x^{2}+1)}{(x^{2}+1)(x^{2}+9)}\\\\\\\dfrac{x^{3}+3x^{2}+x+19}{(x^{2}+1)(x^{2}+9)}=\dfrac{(Ax+B)(x^{2}+9)+(Cx+D)(x^{2}+1)}{(x^{2}+1)(x^{2}+9)}\\\\\\\dfrac{x^{3}+3x^{2}+x+19}{(x^{2}+1)(x^{2}+9)}=\dfrac{Ax^{3}+9Ax+Bx^{2}+9B+Cx^{3}+Cx+Dx^{2}+D}{(x^{2}+1)(x^{2}+9)}$

$\dfrac{x^{3}+3x^{2}+x+19}{(x^{2}+1)(x^{2}+9)}=\dfrac{(A+C)x^{3}+(B+D)x^{2}+(9A+C)x+(9B+D)}{(x^{2}+1)(x^{2}+9)}$

Igualando os numeradores:

$(A+C)x^{3}+(B+D)x^{2}+(9A+C)x+(9B+D)=x^{3}+3x^{2}+x+19$

Esses polinômios serão iguais se e somente se

$\begin{cases}A+C=1~~~~~~~~\mathtt{(i)}\\B+D=3~~~~~~~\mathtt{(ii)}\\9A+C=1~~~~~~\mathtt{(iii)}\\9B+D=19~~~~\mathtt{(iv)}\end{cases}$

Fazendo $\mathtt{(iii)-(i)}$, temos

$9A-A+C-C=1-1~~\Leftrightarrow~~8A=0~~\Leftrightarrow~~\boxed{\boxed{A=0}}$

Substituindo em $\mathtt{(i)}$:

$A+C=1~~\Leftrightarrow~~0+C=1~~\Leftrightarrow~~\boxed{\boxed{C=1}}$

Fazendo $\mathtt{(iv)-(ii)}$:

$9B-B+D-D=19-3~~\Leftrightarrow~~8B=16~~\Leftrightarrow~~\boxed{\boxed{B=2}}$

Substituindo em $\mathtt{(ii)}$:

$B+D=3~~\Leftrightarrow~~2+D=3~~\Leftrightarrow~~\boxed{\boxed{D=1}}$

Então:

$\dfrac{x^{3}+3x^{2}+x+19}{x^{4}+10x^{2}+9}=\dfrac{Ax+B}{x^{2}+1}+\dfrac{Cx+D}{x^{2}+9}~~\Longleftrightarrow\\\\\\\dfrac{x^{3}+3x^{2}+x+19}{x^{4}+10x^{2}+9}=\dfrac{0x+2}{x^{2}+1}+\dfrac{1x+1}{x^{2}+9}~~\Longleftrightarrow\\\\\\\boxed{\boxed{\dfrac{x^{3}+3x^{2}+x+19}{x^{4}+10x^{2}+9}=\dfrac{2}{x^{2}+1}+\dfrac{x+1}{x^{2}+9}}}$