Question

Determinar a derivada da função inversa de y =f (x) = x4 +1.

Answer 1

Olá!

Podemos optar em determinar a função inversa e depois derivá-la!

Portanto:
f (x) = x4 +1 Seja f(x)=y
y= x4 +1 Isolando o X
=> x4 = y-1
=> x = 4Vy-1 (O 4 é índice do radical)
=> y=4V(x-1)
A sua derivada:
y'=(x-1)'/4×4V(x-1)^4-1

y'=1/4×4V(x-1)^3

Answer 2

$f(x)=y\\f^{-1}(y)=x$
ou seja, a função inversa volta do contra domínio para o domínio:
calculando função inversa:
$f(x)=x^4+1\implies f(x)=y\\\\ y=x^4+1\implies y-1=x^4\implies \sqrt[4]{y-1}=x$
como $f^{-1}(y)=x$.
$f^{-1}(x)=(x-1)^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{x-1}$
calculamos a função inversa, desse modo já podemos calcular a derivada:
$\displaystyle \frac{d}{dx}(x-1)^{\frac{1}{4}}=\frac{1}{4}(x-1)^{-\frac{3}{4}}=\boxed{\frac{1}{4}\left(\sqrt[4]{x-1}\right)^{-3}}$