Question

Como resolvo a inequação 2ln(x-1) - ln(x+1)≤0 ?

Answer 1

2ln(x - 1) - ln(x + 1) ≤ 0

CE: x - 1) > 0 => x > 1 e x + 1 > 0 => x > -1 

x > 1 e x > -1 feita a interseção, fica  S1: x > 1

ln(x - 1)² - ln(x + 1) ≤ 0

ln(x - 1)² ≤ ln(x + 1)

Como a base é e = 2,718 aprox. é maior que 1, podemos comparar os logaritmandos e manter o sentido da desigualdade, logo:

(x - 1) ² ≤ x + 1

x² - 2x + 1 -x - 1 ≤ 0

x² - 3x ≤ 0

Cálculo das raízes

x(x - 3) = 0

x = 0 

ou x - 3 = => x = 3

Estudando os sinais da inequação

-----------------0...................3-------------------- 
           +                -                     +
S2: 0 ≤ x ≤ 3

S = S1 ∩ S2

--------------------------------1....................................
---------------------0...........................3-----------------
 -------------------------------1..............3-----------------

S = {x ∈ R/ 1< x ≤ 3}

Answer 2

Vamos lá.

Pede-se para resolver a seguinte inequação:

2ln(x-1) - ln(x+1) ≤ 0

Inicialmente vamos para as condições de existência. Como só há logaritmos de números positivos (ou > 0), então teremos que:

x - 1 > 0
x > 1

e

x+1 > 0
x > -1 .

Agora veja: entre "x" ser maior do que "1" e maior do que "-1", vai prevalecer a primeira hipótese, pois sendo x > 1 já o será maior do que "-1".
Logo, a única condição de existência será esta:

x > 1 --------- Esta é a única condição de existência.

Bem, como já vimos qual é a condição de existência da expressão dada, vamos trabalhar com ela, e que é esta:

2ln(x-1) - ln(x+1) ≤ 0 ----- vamos passar "-ln(x+1)" para o 2º membro, teremos:
2ln(x-1) ≤ ln(x+1) ----- vamos passar o "2" como expoente, com o que ficaremos:

ln(x-1)² ≤ ln(x+1)

Agora note: como as bases são as mesmas (logaritmos neperianos têm a base igual a "2,718" aproximadamente), então poderemos comparar os logaritmandos. E, na comparação dos logaritmandos, o faremos com o mesmo sentido da desigualdade, pois a base é maior do que "1" (e, claro, se as bases estivessem entre "0" e "1" na comparação dos logaritmandos deveríamos trocar o sentido da desigualdade: o que fosse ≤ passaria para maior ou igual e vice-versa) . Assim, na comparação dos logaritmandos poderemos fazer:

(x-1)² ≤ (x+1) ---------- vamos desenvolver, ficando:
x²-2x+1 ≤ x+1 ---- vamos passar todo o 2º membro para o 1º, ficando:
x²-2x+1 - x - 1 ≤ 0 ---- reduzindo os termos semelhantes, teremos:
x² - 3x ≤ 0

Agora vamos estudar a variação de sinais da expressão acima, em função de suas raízes. Então vamos logo ver quais são as raízes dessa expressão:

x² - 3x = 0 ---- colocando "x" em evidência, ficaremos;

x*(x - 3) = 0 ---- aqui temos o produto entre dois fatores cujo resultado é nulo. Quando isso ocorre, um dos fatores é nulo. Então teremos as seguintes possibilidades:

ou
x = 0 ----> x' = 0

ou
x-3 = 0 ---> x'' = 3.

Finalmente, agora vamos estudar a variação de sinais da expressão acima, em função de suas raízes (que são x' = 0 e x'' = 3). Assim, teremos:

x² - 3x ≤ 0 ...+ + + + + + + + + + + (0) - - - - - - - - - - - (3) + + + + + + + + + +

Note que queremos que a expressão seja MENOR ou IGUAL a zero. Então só nos vai interessar onde tiver sinal de menos aí em cima, e que está entre "0" e "3".
Mas lembre-se que, conforme a única condição de existência vista logo no início, tínhamos que x > 1. Então o intervalo válido para para a expressão acima estará entre "1" e "3", sendo que, no "1" o intervalo é aberto (pois a condição de existência era x > 1) e em "3" o intervalo é fechado, pois "x" poderá ser igual a "3" sem nenhum problema. Assim, o intervalo que vale será este:

1 < x ≤ 3  ------ Esta é a resposta.

Se você quiser, poderá apresentar o conjunto-solução da seguinte forma, o que é a mesma coisa:

S = {x ∈ R | 1 < x ≤ 3}. 

Ou ainda, se quiser, o conjunto-solução poderá ser apresenta do seguinte modo, o que dá no mesmo:

S = (1; 3].

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.