Question

Equação cartesiana reduzida da circunferência de diâmetro AB sendo A(-1,3) B(2,-1)

Answer 1

Boa Joel 

o centro é o ponto medio AB

Cx = (-1 + 2)/2 = 1/2
Cy = (3 - 1)/2 = 1

(x - 1/2)² + (y - 1)² = r²

determine o raio com o ponto A

(-1 - 1/2)² + (3 - 1)² = r²

r² = 9/4 + 4 = 9/4 + 16/4 = 25/4 

equação
(x - 1/2)² + (y - 1)² = 25/4 

Answer 2

Vamos lá.

Veja, Joel, que a resolução é simples.
Pede-se a equação reduzida da circunferência de diâmetro AB, sendo:

A(-1; 3) e B(2; -1).

Antes de mais nada, veja que todo diâmetro é o dobro do raio. Ou, em outras palavras, todo raio é a metade do diâmetro.
Então o raio da circunferência que tem diâmetro nos pontos A(-1; 3) e B(2; -1) será o ponto médio C(x₀; y₀), que será calculado assim:

i) Cálculo da abscissa do ponto C(x₀; y₀) será dado assim:

x₀ =(-1+2)/2
x₀ = (1)/2
x₀ = 1/2 <--- Esta é a abscissa do ponto C(x₀; y₀).

ii) Cálculo da ordenada do ponto C(x₀; y₀) será dado assim:

y₀ = (3+(-1))/2
y₀ = (3-1)/2
y₀ = (2)/2 --- ou:
y₀ = 2/2
y₀ = 1 <--- Esta é a ordenada do ponto C(x₀; y₀).

Assim, como você está vendo, o ponto C, que será o centro da circunferência, é dado por:

C(1/2; 1) <--- Este é o ponto que dá o centro da circunferência.

iii) Agora vamos calcular o raio (r) da circunferência, que será calculado pela distância entre o ponto C(1/2; 1) e um dos extremos, que tanto poderá ser o ponto A(-1; 3) como o ponto B(2; -1).
Então vamos calcular o raio (r), calculando-se a distância entre o centro e o ponto A. Então teremos:

iii.a) Calculando a distância entre C(1/2; 1) e o ponto A(-1; 3), que será o raio (r) da circunferência. Assim, teremos:

r² = (-1-1/2)² + (3-1)²
r² = (-1-1/2) + (2)² ----- note que: (-1-1/2)---- mmc = 2. Logo, utilizando-o, teremos: [(2*(-1)-1*1)]/2 = [(-2-1)/2] = (-3/2). Assim, ficaremos com:

r² = (-3/2)² + (-2)²
r² = 9/4 + 4 ------ mmc = 4. Logo, utilizando-o, teremos;
r² = (1*9 + 4*4)/4
r² = (9+16)/4
r² = (25)/4 --- ou apenas:
r² = 25/4
r = +-√(25/4) ---- como √(25/4) = 5/2, teremos:
r = +-5/2 ----- mas veja que o raio nunca é negativo. Então tomando-se a raiz positiva, teremos;

r = 5/2 <--- Este é o raio da circunferência da sua questão.

iv) Agora, finalmente, vamos encontrar qual é a equação reduzida da circunferência da sua questão.
Antes veja que a equação reduzida de uma circunferência que tenha centro em C(x₀; y₀) e raio = r , é encontrada da seguinte forma;

(x-x₀)² + (y-y₀)² = r²       . (I)

Tendo, portanto, a expressão (I) acima como parâmetro, então a circunferência da sua questão, que tem centro em C(1/2; 1)  e tem raio = 5/2 terá a seguinte equação reduzida:

(x-1/2)² + (y-1)² = (5/2)²  ---- ou, ainda, o que é a mesma coisa:
 
(x-1/2)² + (y-1)² = 25/4 <--- Esta é a equação reduzida pedida.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.